Урок 15. Робот. Команды для Робота. Программа для Робота

План урока

1. Решение компьютерных задач 341–345.
2. Решение обязательных бумажных задач 42, 46, 48, 50.
3. Решение необязательных бумажных задач 49, 51.

Учителю

Урок 16. Контрольная работа № 1

В отличие от контрольных работ в 1 и 2 классах, каждая из которых имела бумажную и компьютерную часть, в 3 классе мы предлагаем детям (по техническим причинам) две бумажные и две компьютерные контрольные работы. Первая и третья контрольные работы будут компьютерными, а вторая и четвертая – бумажными.

Контрольная работа №1   1 вариант

Контрольная работа №1   2 вариант

Для учителя

Урок 17. Выравнивание, решение дополнительных и трудных задач

Как и в курсах 1–2 классов, в конце каждой четверти мы планируем уроки выравнивания. Как обычно, мы рекомендуем заготовить каждому учащемуся собственный набор задач из числа бумажных и электронных задач, относящихся к этому уроку. С каких задач начинать (с бумажных или компьютерных), решайте сами. Нам кажется наиболее удобным в начале урока организованно посадить всех детей за машины, а затем в индивидуальном порядке переключать ребят на работу с бумажным учебником.
Бумажные задачи для урока выравнивания мы вам предлагаем взять со страниц 51–55 1 части учебника 3 класса из числа тех, которые относятся к материалу, который уже пройден.

Компьютерные задачи

Для учителя

К контрольная работа №1 в 3 классе

В данной работе мы предлагаем ребятам 5 задач – 4 обязательных и 1 необязательную. Критерии выставления оценки за работу: оценка «3» ставится за любые две полностью решенные задачи, оценка «4» ставится за любые три полностью решенные задачи, оценка «5» ставится за все решенные задачи. За решение необязательной задачи учащемуся выставляется отдельная оценка.
Задача 1. Стандартная задача на материал листа определений «Длина цепочки. Цепочка цепочек». Подобных задач ребята решали довольно много. Задача считается полностью решенной только в том случае, если правильно определена истинность всех утверждений в задаче.
Ответ:

Утверждение	G Вариант 1	G Вариант 2
Длина этой цепочки больше 5.	Л	Л
В этой цепочке есть одинаковые бусины.	И	И
Третья бусина этой цепочки – это цепочка длины 2.	Л	И
Среди бусин этой цепочки есть цепочка длины 3.	И	И
Предпоследняя бусина этой цепочки – это цепочка длины 1.	Л	Л

Задача 2. Задача на двумерную таблицу для мешка. Здесь дети используют информацию двумерной таблицы, чтобы достроить мешок с фигурками. При этом необходимо соблюдать условие, чтобы все мышки в мешке были разными. Лучше всего заботиться об этом по ходу. Для этого, работая с каждой клеткой таблицы, нужно раскрашивать одинаково заведомо разных мышей – либо с бантиками разных цветов, либо повернутых в разные стороны.
Задача 3. Стандартная задача на построение программы для Робота. Задача считается полностью решенной только в том случае, если ребенок написал программу и проверил ее выполнение (заставил Робота выполнить свою программу).
Задача 4.  Знакомая ребятам задача на построение дерева по описанию. Здесь проверяется умение ребят владеть понятиями, связанными с деревьями, а также умение использовать электронные возможности для построения дерева.
Рассмотрим задачу 1 варианта. Можно сразу нарисовать на каждом из трех уровней по 3 листа (не забывая, конечно, что все бусины дерева должны быть разными). Видим, что на втором уровне не меньше четырех бусин, но в силу второго утверждения меньше 5. Значит на втором уровне 4 бусины. Рисуем еще одну бусину (отличную от листьев). Она будет предыдущей по отношению к листьям третьего уровня. Что касается корневых бусин, то их может быть от четырех до семи.

Необязательная задача

Задача 5. Как и другие подобные задачи, эту задачу можно решать перебором или рассуждениями. Поле здесь довольно большое, поэтому есть смысл проанализировать программу, прежде чем начинать перебор. Рассмотрим задачу 1 варианта. Видим, что на протяжении всей программы Робот движется только вверх, выполняя эту команду трижды. Значит в начальной позиции Робот находился в нижней строке. При этом на протяжении всей программы Робот движется только влево. Это означает, что нужно начинать перебор с нижнего правого угла поля. Так мы находим нужную клетку достаточно быстро.

К уроку 2. Дерево. Следующие бусины. Листья. Предыдущие бусины. Корневые бусины

Работа с листами определений «Дерево», «Следующие бусины. Листья», «Предыдущие бусины. Корневые бусины»

Начиная разговор о цепочках, мы упоминали о последовательности событий. Однако не всегда нас интересует линейная последовательность. Приведем несколько примеров:

• перед нами стоит возможность выбора и приходится рассматривать несколько вариантов дальнейшего хода событий: «Направо пойдешь – коня потеряешь, налево пойдешь – буйну голову сложишь, прямо пойдешь – на царевне женишься»;
• мы выбираем один из возможных объектов и хотим потом изменить свое решение и выбрать другой;
• мы выделяем в задаче подзадачи, раздаем их участникам деятельности, а потом собираем результаты для поиска одного решения.

Во всех этих случаях ситуация выбора, ветвления может повторяться, одним выбором дело не заканчивается. Например, в играх два (или больше) партнера делают свои выборы много раз. При выполнении компьютерной программы также возможно большое число выборов. При попытке изобразить эту ситуацию на бумаге возникают графические представления, называемые деревьями.
В нашем курсе используются не все деревья, которые рассматриваются в современной математике и информатике, а только те, которые больше всего приближены к цепочкам. В нашем курсе деревья обладают следующими фиксированными свойствами:

• в каждой вершине дерева обязательно находится бусина (при этом, как и в цепочках, бусиной дерева может быть не только «геометрическая» бусина, но и бусина-буква, бусина-цифра, а также фигурка) – в науке рассматриваются и такие деревья, не все вершины которых помечены (т. е. не в каждой вершине стоит какой-то объект, будь то буква или другой символ);
• бусины, следующие после корня дерева, называются корневыми бусинами, корневых бусин в дереве может быть несколько – есть разделы науки, в которых используются только деревья с единственной корневой бусиной (собственно эта единственная корневая бусина является корнем дерева);
• деревья направлены, они «растут» в одну сторону: у каждой бусины (если она не является листом) может быть несколько следующих бусин и не больше одной предыдущей бусины (точнее, ровно одна предыдущая, если бусина не корневая, и ни одной предыдущей у корневой бусины) – в науке рассматриваются как деревья, бусины которых могут иметь несколько предыдущих бусин, так и не направленные деревья, для которых понятия «следующий» и «предыдущий» вообще не работают.

Форма работы с данными листами определений обычная для нашего курса – дети самостоятельно знакомятся с листами определений. По окончании работы учитель организует общее обсуждение, отвечая на вопросы детей и обращая внимание на сложные места.
На листах определений «Дерево. Следующие бусины. Листья» и «Дерево. Предыдущие бусины. Корневые бусины» есть части, где обсуждаются ситуации, в которых утверждения о деревьях не имеют смысла. Во втором классе мы с детьми обсуждали утверждения, которые не имеют смысла для цепочек. Как видите, могут встретиться бессмысленные утверждения и о деревьях. Стоит обратить внимание детей на эти ситуации и возможно, обсудить их всем классом.

Решение обязательных бумажных задач

Работая в рамках темы «Дерево» вы заметите, что решение бумажных задач, связанных с деревьями (особенно на построение дерева) занимает у детей достаточно много времени. Поэтому на каждый подобный урок мы предлагаем ребятам сравнительно немного таких бумажных задач. Что касается данного урока, то он не только первый урок по теме (на котором детям предстоит изучить несколько листов определений), но и первый обычный (непроектный) урок в году. На нем детям предстоит вспомнить правила нашей игры (правила работы с курсом), включая и работу с первым компьютерным уроком (работа с сайтом, задачами, электронными инструментами и т. д.). Поэтому на данном уроке дети, скорее всего, не успеют решить много бумажных задач.
Задача 3. В задаче работают практически все понятия, относящиеся к теме «Деревья», особенно активно – понятия «следующая бусина» и «предыдущая бусина». Несмотря на то, что эта терминология знакома учащимся по работе с цепочками, в применении к деревьям появятся дополнительные трудности. В цепочке каждая бусина имеет не более одной предыдущей (т. е. одну или ни одной) и не более одной следующей. Поэтому мы употребляли в единственном числе словосочетание «следующая бусина» аналогично словосочетаниям «следующий день», «следующий урок». В дереве каждая бусина может иметь и несколько следующих бусин, поэтому мы употребляем множественное число: «следующие бусины». В русском языке словосочетание типа «следующие дни» имеет несколько другое значение: обычно имеется в виду и следующий день, и второй, третий за ним и еще несколько следующих за ним дней. Мы же на листе определений договорились понимать словосочетание «следующие бусины» только как «бусины, следующие непосредственно после указанной». Такое различие значений может поначалу стать источником ошибок. Например, при определении истинности утверждения «У бегемота четыре следующие фигуры – волк, гусь, заяц, индюк» кто-то из ребят может ошибочно посчитать это утверждение истинным. Необходимо попросить такого ученика вернуться к примерам на листе определений и разобраться, какие бусины дерева мы договорились считать следующими за данной. Среди данных утверждений нет бессмысленных утверждений для дерева У. Следующие утверждения ложны для дерева У (все остальные утверждения истинны):
Предыдущая фигурка перед дельфином – корова. – Л (Предыдущая фигурка перед дельфином – белка.)
У жирафа две следующие фигурки – лев и лось. – Л (У жирафа три следующие фигурки – лев, лось и курица.)
В этом дереве нет фигурки верблюда. – Л (Фигурка верблюда в дереве есть.)
У бегемота четыре следующие фигурки – волк, гусь, заяц и индюк. – Л (У бегемота две следующие фигурки – волк и гусь.)
Предыдущая фигурка перед курицей – крокодил. – Л (Предыдущая фигурка перед курицей – жираф.)
Задача 4. В задаче нужно проверить свое решение – соединить одинаковые буквы в пары и проверить, не осталось ли «непарных» букв.
Понаблюдайте, какой стратегией пользуются дети. Кто-то сразу пометит в мешках все пары одинаковых букв. При этом в мешке W останутся непомеченными три буквы (Н, А, А), которые необходимо дописать в мешок S, и в мешке S – три буквы (О, Е, К), которые нужно дописать в мешок W. Другой ученик будет помечать и дописывать буквы одновременно. Третий, возможно, вообще не захочет пользоваться пометками. В процессе работы в мешках могут появиться «лишние» буквы, например, ученик допишет в один из мешков букву Ш. Ее не надо вычеркивать, чтобы поправить дело, а надо в другой мешок тоже дописать эту букву.

Решение электронных задач 

В этом (и следующем) уроке мы не вводим никаких новых электронных инструментов, а лишь вспоминаем все инструменты, с которыми дети работали в компьютерных задачах 1 и 2 классов – заливка, карандаш, лапка, текст и т. д. Кроме того, поскольку это первый компьютерный урок в 3 классе, дети должны вспомнить общие правила работы с сайтом – как зайти на сайт, найти и открыть нужный урок, открыть/закрыть и сохранить задачу и т. д.
Задача 286. Задача на закрепление понятий «лист» и «корневая бусина». Если кто-то из детей допускает в ней ошибки, достаточно попросить его еще раз обратить к листу определений. В ходе работы с этой задачи дети вспоминают особенности работы компьютерного инструмента «заливка». Надеемся, что дети не забыли – чтобы раскрасить некоторую область, нужно сначала «прицелиться» в нее мишенью заливки. Учитель как обычно консультирует детей в индивидуальном порядке. При этом надо иметь в виду, что кроме заливки детям могут потребоваться инструменты, позволяющие исправить результаты своей работы – ластик и начать сначала.
Задача 287. Здесь дети снова закрепляют понятие «лист» дерева в ходе построения мешка всех листьев дерева. Хотя на листе определений явно не вводится понятие «мешок всех листьев дерева», но для детей оно должно быть понятно, исходя из понятий «лист» и «мешок». Ясно, что мешок – кучка, в которой все листья дерева сложены без всякого порядка. В этой задаче дети повторяют компьютерные инструменты: лапку и библиотеку бусин. Возможно кому-то придется напомнить, как пользоваться полосой прокрутки, чтобы посмотреть все бусины в библиотеке. Как видите, листьев в дереве довольно много и дети могут потерять какие-то из них. Чтобы этого не произошло (и в качестве проверки) можно использовать пометки. Например, можно ставить галочку около листа дерева П, как только такая же бусина оказалась в мешке или соединять одинаковые листья в дереве и в мешке попарно.
Задача 288. Это задача на повторение тем «Мешок», «Одинаковые мешки». Кроме того, дети здесь работают с мешками монет, для которых важно не только (и не столько) число монет в мешке, сколько их достоинство, а точнее общая сумма денег в мешке. Во втором классе при решении подобных задач дети могли убедиться, что одну и ту же сумму можно представить с помощью разных наборов монет. Здесь цель как раз в том, чтобы составить 4 разных набора монет на одинаковую сумму. В этой задаче можно использовать многие из стратегий, описанных во введении. Так некоторые дети будут решать задачу методом тыка, строя наугад мешки содержащие 11 рублей и по ходу проверяя, не равен ли очередной мешок одному из тех, что уже построены. Некоторые дети попытаются организовать перебор. Конечно, полный перебор здесь не потребуется, но некоторые соображения при переборе использовать весьма полезно. Например, проще всего организовать перебор по пятирублевым монетам, ведь ясно, что их в мешке не больше трех. Значит, получаем 3 случая: в мешке 2 пятирублевых монеты, в мешке одна пятирублевая монета, в мешке нет пятирублевых монет. В первом случае такой мешок можно построить лишь один. В каждом из оставшихся случаев решений можно построить несколько. Поэтому думаем, большинство ребят вообще не будут использовать перебор, поскольку решений здесь имеется довольно много. Однако тем, кто застрял, дайте совет рассмотреть случаи и организовать некоторый перебор.
Задача 289. На эту задачу стоит обратить внимание, поскольку здесь впервые в 3 классе дети встречаются с утверждениями, не имеющими смысла для данного дерева. При чем здесь встречаются и такие случаи, когда нужной бусины нет, и такие случаи, когда нужных бусин несколько. Так, чтобы первое утверждение имело смысл необходимо, чтобы в дереве была ровно одна буква А. Аналогично, второе утверждение потеряет смысл для всех деревьев, где не одна буква  М (то есть букв М нет, либо их больше одной). Таким образом, для верхнего слева дерева второе утверждение не имеет смысла, поскольку букв М в нем две, а для нижнего слева, поскольку букв М там вообще нет. В результате подходящих нам деревьев оказывается ровно два. Желательно в этой задаче организовать развернутую проверку. Для этого стоит обсудить с детьми каждое из деревьев – определить истинность каждого из утверждений и ответить на вопрос, подходит оно нам или нет.
Как видите, в этой задаче ребята повторяют компьютерный инструмент «карандаш». Не у всех наверняка получится аккуратно и красиво обвести нужные деревья с первого раза, придется немного потренироваться. Чтобы убрать линию, которая не получилась, дети должны использовать ластик.
Задача 290. Здесь дети еще раз закрепляют понятия «следующие бусины», «предыдущая бусина» для дерева и вспоминают инструмент «галочка». Как с содержательной, так и с технической точек зрения эта задача не сложная и не требует общего обсуждения. Главная ее сложность в том, как не пропустить одну из бусин дерева, то есть найти все объекты, соответствующие условию. Тем ребятам, которые все же пропустили бусины, нужно посоветовать полный перебор всех бусин дерева (для каждого из условий задачи). При этом необходимо выбрать некоторую систему перебора, например, двигаться по бусинам дерева слева направо и сверху вниз.
Задача 291.  Необязательная. Задача на повторение темы «Цепочка» и соответствующей цепочечной лексики. Также в ходе ее решения дети повторяют компьютерный конструктор цепочек. Здесь детям придется состыковывать между собой несколько условий, поэтому мы и пометили эту задачу как необязательную. Заметим, что в библиотеке есть 5 петухов, самое большое перо в хвосте которых – желтое. Три из них мы используем для нашей цепочки. Дальше мы понимаем, что первый петух является также и третьим с конца. Поэтому у первого петуха голова синяя, а туловище фиолетовое. Среди оставшихся четырех петухов два с желтой головой и один – с синей, а петухов с желтым или синим туловищем в библиотеке вообще нет. Поэтому в качестве последнего нам подходит лишь петух с зеленой головой и решение в этой задаче имеется единственное.

Решение необязательной бумажной задачи 

Задача 5. Повторяем тему «Таблица для мешка», используя при этом знаки дорожного движения. Задача не трудная, но достаточно объемная. Можно обсудить знаки, используемые в этой задаче, совместно всем классом. Эта задача может стать перекидным мостиком к классному часу по правилам дорожного движения, который во многих школах традиционно проводится в начале года. Можно поиграть с ребятами в игру «Кто знает, что обозначает этот знак?». Все знаки, которые ребята вспомнят, пометьте прямо в таблице. Остальные знаки можно распределить по рядам и попросить выяснить ребят их назначение у родителей или посмотреть в «Правилах дорожного движения». Мы приводим названия и назначение знаков, встречающихся в задаче, а также заполненную таблицу.
По окончании решения можно организовать взаимную проверку: попросите учащихся, которые решали задачу, сравнить таблицы и, если они не окажутся одинаковыми, выяснить, кто допустил ошибку. После заполнения таблицы ребята легко найдут четверку одинаковых знаков – «Полоса для маршрутных транспортных средств».

 

К уроку 3. Дерево. Следующие бусины. Листья. Предыдущие бусины. Корневые бусины.

Решение обязательных бумажных задач

Задача 1. Надеемся, первое задание не вызовет у ребят проблем. При его выполнении нужно только помнить набор допустимых цветов (7 цветов радуги плюс черный). Выполнение второго задания потребует аккуратности: ведь в окне должны быть все листья дерева Ч, причем только они. Как видите, эта задача напоминает компьютерную задачу 287. Как и в задаче 287 тем, кто запутался, посоветуйте сразу помечать на дереве Ч каждый нарисованный в мешке лист или соединять соответствующие листья в мешке и в дереве парами.
Задача 2. Это первая задача на построение дерева по описанию, поэтому нужно обратить на нее внимание. Конечно, пока описание совсем простое – нужно, построить дерево, все бусины которого корневые. При этом ребенок должен понимать, что все бусины дерева являются также и листьями. Таким образом, деревья ребят будут отличаться только числом корневых бусин (листьев) выходящих из корня. Поэтому в данной задаче корень дерева удобней расположить горизонтально. Проходя по классу, обратите внимание на оформление дерева. У всех деревьев обязательно должен быть корень. Также все листья (все бусины дерева) должны быть помечены стрелочками.

Решение компьютерных задач

Задача 292. Задача на закрепление новых понятий «листья» и «следующие бусины», а также на повторение уже знакомых детям понятий «есть» и «все». Если ребенок никак не может найти решение в одном из заданий, ему можно посоветовать полный перебор. В первом задании перебор можно вести по бусинам, которые не являются листьями (поскольку у листьев вообще не может быть следующих бусин). Во втором задании перебор нужно вести по синим бусинам. Поскольку в дереве всего 4 синих бусин, среди которых два листа, перебор во втором задании будет совсем не большим.
Задача 293. Предоставьте в этой задаче детям полную свободу, не давайте никаких пояснений и проверьте, насколько качественно усвоены понятия «следующая/предыдущая» для бусин дерева. В результате в каждом из заданий раскрашенными оказываются ровно 5 бусин.
Задача 294. Задача на повторение темы «Мешок бусин цепочки». Из курсов 1 и 2 классов дети должны помнить, что одному мешку бусин могут соответствовать разные цепочки. В случае с цепочками букв (словами) иногда для одного мешка букв можно построить несколько слов русского языка. Именно так дело обстоит в данной задаче. Пары слов с одинаковыми мешками букв: КАСТОРКА и КРАСОТКА, КАДРЫ и ДЫРКА, ЛОСИХА и ОСЛИХА.
Задача 295. Задача на повторение цепочечной лексики и темы «Мешок бусин цепочки». В курсе 2 класса подобные задачи дети решали не раз. Решений здесь довольно много, утверждения слабо связаны между собой, поэтому надеемся все ученики справятся с данной задачей без вашей помощи.
Задача 296.  Задача для самостоятельного решения. Заметим, что дети в процессе решения задачи должны раскрасить все бусины дерева. При этом в условии ничего не сказано о том, каким цветом должны быть раскрашены квадратные и треугольные бусины, которые не являются листьями. В частности, все эти бусины могут быть раскрашены в красный или желтый цвет, что не противоречит условию задачи.
Задача 297. Необязательная. Задача на повторение темы «Области». По содержанию эта задача комбинаторного характера (см. аналогичные компьютерные задачи в курсе 2 класса), однако решить ее можно без всякого перебора, поскольку решений здесь очень много.

Решение необязательной бумажной задачи

Задача 6. Различные пары слов в мешках не связаны между собой, поэтому, начав с любой пары слов, ученик дойдет до правильного решения. Любое частичное решение может быть продолжено до полного, любая пара сопоставленных слов является частью окончательного решения, при таком произвольном построении не возникает «тупиков». Не все задачи курса обладают свойством автономности каждой части решения. Задачи бывают и более запутанными, при сопоставлении слов мы могли бы отождествить два слова, заполнив пробелы, а потом оказалось бы, что это отождествление не удается продолжить до решения всей задачи, потому что другое слово с пробелами «осталось безработным». Задачи с «тупиками» появятся в нашем учебнике позднее.
Ответ: слова МОЛОТОК и МОЛОКО.

К уроку 4. Уровни дерева

Работа с листом определений «Уровни дерева»

Понятие «уровень вершины» не является, строго говоря, содержательным понятием нашего курса. Это, скорее технический термин – как, скажем, понятия начала и конца последовательности. Введение понятия «уровень дерева» поможет ребятам при самостоятельной работе с деревьями. Мы в учебнике будем строить деревья по уровням, поэтому в наших деревьях детям всегда будет легко разобраться. Постепенно хорошо бы приучать детей также строить деревья по уровням. Это позволит красиво расположить дерево на странице и при этом допустить меньше ошибок. Также понятие «уровень дерева» позволит нам сформулировать новые, интересные, но не слишком сложные для детей задачи.
Теперь для обозначения корневых вершин у нас появилось еще одно название – вершины первого уровня. Что касается листьев, то с ними ситуация совершенно другая. Ясно, что листья могут находиться на любом уровне, начиная с первого и до последнего, но теперь мы можем указать положение листа относительно корня дерева: лист второго уровня, лист последнего уровня и т. д. Вообще уровень дерева характеризует «расстояние» бусин дерева (в бусинах) от корня. Так ясно, что между вершиной четвертого уровня и корнем находятся три бусины (три уровня), а между вершиной второго уровня и корнем – лишь одна.
Общее число уровней дерева показывает его высоту или число бусин его самого длинного пути (см. лист определений «Путь дерева»).

Решение обязательных бумажных задач

Как всегда, мы советуем вам решать вначале обязательные задачи на новый лист определений (7 и 11), а затем задачу на повторение. Если вы опасаетесь, что ребята не успеют сделать все обязательные задачи урока, после решения задач 7 и 11 можно перейти к компьютерным задачам, а в конце урока вернуться к задаче 8.
Задача 7. Здесь дети сталкиваются с явным употреблением понятия «все» в том случае, если объект всего один. Например, третий пункт инструкции гласит: «Раскрась все квадратные бусины четвертого уровня синим», а среди бусин четвертого уровня квадратная бусина всего одна. Такое употребление слова «все» принято в математике, но несколько расходится с употреблением слова «все» в русском языке. Именно привычное словоупотребление может стать причиной того, что кого-то из ребят такие пункты инструкции смутят. Вас могут спросить: «Какие все, ведь бусина всего одна?» С таким учеником непременно нужно побеседовать, найдя простые и понятные для него примеры: «Все доски в нашем кабинете – зеленые» (если доска одна) или «Все отличники в нашем классе – девочки» (если отличница одна), и спросить, верно ли это. Если таких ребят окажется достаточно много, стоит обсудить эту ситуацию всем классом, но не на материале задачи, а на примерах из жизни. С заданием же каждый ребенок должен справиться сам.
Ответ: раскрашенные деревья ребят будут разных видов. Однако мешки бусин четвертого уровня должны получиться у всех одинаковыми и состоять из двух красных круглых бусин и трех синих: квадратной, круглой и треугольной.
Задача 8. Задача на повторение алгоритма подсчета областей картинки. Наверняка, наибольшее число ошибок будет связано с заливкой «фона», который на нашей картинке состоит из трех областей, две из которых небольшие, а третья занимает весь оставшийся «фон» и представляет собой довольно причудливую фигуру.
Обсудите с ребятами, где они могли видеть этот знак. Можно дать задание поискать дома упаковки с таким экологическим знаком и принести их на следующий урок. Можно также попросить ребят подумать дома, зачем на товарах рисуют подобный знак, хорошо это или плохо, что товар помечен этим знаком, и т. п.
Ответ: в этой картинке 9 областей (каждая из трех стрелок содержит две области и еще три области «фона»).
Задача 11. Теперь во всех задачах на построение дерева мы будем рисовать пунктиром линии, которые отделяют уровни дерева друг от друга. Мы надеемся, что это поможет детям правильно расположить бусины дерева по уровням и нарисовать в окне аккуратное дерево. Поскольку во всех задачах на построение дерева, его нужно будет нарисовать в окне, дополнительное условие для детей – нарисовать дерево, которое не выходит за рамки окна. В данном случае окно довольно узкое, поэтому на одном уровне вряд ли получится расположить больше четырех бусин. Проходя по классу, следите за тем, чтобы дети правильно оформляли свои деревья – не забывали рисовать корень, стрелки листьев, соединительные линии.

Решение компьютерных задач

В этом компьютерном уроке ребята начинают знакомиться с инструментами, позволяющими быстро и красиво строить деревья в электронных задачах. Первый инструмент – это «дерево». Он рисует отрезок, соединяющий следующую бусину с предыдущей или корневую бусину с корнем. Второй инструмент – «лист». Он рисует стрелки, выходящие из листьев. Для этого инструмента нет отдельной кнопки, он работает по щелчку на соответствующую бусину дерева. Корень дерева мы во всех задачах будем рисовать заранее, чтобы ребенку сразу было понятно, в каком направлении и из какой точки дереву удобней «расти». Также при построении деревьев дети будут пользоваться уже знакомыми им лапкой и библиотекой бусин (фигурок). Кроме этих явных инструментов, существуют еще несколько технических «помощников», которые автоматически делают рисование деревьев более простым для детей. Как и в бумажных задачах, в компьютерных задачах уровни дерева тоже размечены. Кроме того, на каждом уровне имеется сетка (серые точки), которая работает в режиме притягивания бусин (фигурок) к узлам. В результате при построении дерева бусины на каждом уровне располагаются ровно как по вертикали, так и по горизонтали.
Задача 298. Содержательно, это задача не сложная. Цель этой задачи – знакомство детей с первым инструментом для построения дерева – «отрезком», позволяющим рисовать соединительные линии. При этом листья в дереве уже помечены. Если кто-то из детей захочет добавить листьев, пока он сделать этого не сможет, поскольку соответствующий инструмент еще не введен. Таким образом, условия, которые нужно соблюдать при построении дерева – число листьев и не листьев на каждом уровне. Так видим, что на первом уровне 3 бусины, которые не являются листьями и на втором их тоже три. Это значит, что каждая корневая бусина имеет ровно одну следующую, поскольку корневых листьев у нас нет. Продолжая аналогичные рассуждения, получаем, что одна из бусин второго уровня имеет две следующие, а остальные две – по одной.
Задача 299.  В этой задаче дети знакомятся со вторым инструментов для рисования дерева – «стрелкой». Содержательно эта задача совсем простая, ведь дерево практически построено. Осталось лишь пометить стрелками все бусины, у которых нет следующих (они и будут листьями). Поскольку у детей в этой задаче нет возможности поместить в дерево дополнительные бусины, дерево определяется однозначно.
Задача 300. Это уже технически полноценная задача на построение дерева, в которой ребенок будет использовать все необходимые инструменты. При этом все нужные действия ученик будет делать сам от начала и до конца – брать лапкой бусины из библиотеки, соединять их линиями, выпускать стрелки из листьев. Содержательно задача пока совсем простая. Условие, которое накладывается на дерево лишь одно – в нем должно быть ровно 6 бусин. Что касается структуры дерева, она может быть самой разной. Например, все 6 бусин могут быть корневыми, тогда дерево будет иметь один уровень бусин. Однако уровней в дереве может быть и больше, теоретически не больше пяти. Однако в электронных (и иногда в бумажных) задачах у нас есть и чисто технические ограничения, связанные с величиной свободного места на рабочей части задачи. Эти ограничения показывает сетка на рабочей части страницы, там где ребенок будет строить дерево. Обычно в компьютерных задачах деревья у нас будут иметь не больше четырех уровней и не больше восьми бусин на одном уровне. Поэтому в данной задаче дерево из пяти уровней у детей не получится построить технически, хотя теоретически такое решение возможно. Если кого-то из детей это смутит, объясните ему, с чем связано данное ограничение.
Задача 301. Задача на повторение цепочечной лексики, в частности, лексики отражающей частичный порядок бусин в цепочке. Заметим, что среди данных слов имеются такие, для которых данное утверждение не имеет смысла. В частности: слова в которых две буквы А и слова, в которых нет буквы второй после А. В результате мы находим 6 подходящих слов: БАЛКОН, БАНКЕТ, БАНК, БАНКИР, БАШКИР, БАСКЕТБОЛ.

Задача 302. Необязательная. Задача на повторение сравнения фигурок с помощью наложения.

К уроку 5. Уровни дерева

Решение обязательных бумажных задач

Задача 9. В этой задаче дети продолжают закреплять новое понятие «уровни дерева» в процессе построения дерева по описанию. Здесь и во всех задачах на построение дерева мы будем заранее рисовать в окне линии-разделители для уровней дерева. Мы обращаем на это внимание ребят в условии и вам советуем обратить внимание ребят на указание к задаче. Мы надеемся, что разметка поможет детям правильно расположить бусины дерева по уровням и нарисовать в окне аккуратное дерево.
Хотя детям предстоит здесь построить дерево по описанию, думаем, у ребят не возникнет серьезных проблем. Учащийся может, например, сразу нарисовать бусины из каждого мешка на соответствующем уровне (конечно, в любом порядке), добавить по желанию бусины на четвертом уровне, а потом уже соединить все нарисованные бусины в дерево.
Задача 13. Важно обсудить со всеми интересующимися детьми, как они решали задачу. Стратегии, конечно, могут быть разные. Одна из них – систематически перебирать все пары, например, так: первый мешок сравнить с остальными, затем второй – с остальными и т. д. (метод последовательного перебора). Уже здесь возникает ряд интересных вопросов: как именно просматривать мешки, как ничего не забыть, как отмечать уже просмотренные мешки и объекты и т. д.
Вторая из стратегий, возникающая у детей и взрослых чаще всего интуитивно и спонтанно, состоит в том, чтобы перебирать пары наугад (метод проб и ошибок). Стратегия эта не такая уж бессмысленная, как может показаться на первый взгляд.
Подумайте, почему при такой стратегии имеется опасность затратить очень много времени или вовсе никогда не решить задачу.
Не надо навязывать и даже подсказывать закономерности детям, мы о них говорим здесь только для того, чтобы вам было проще их распознавать в действиях и не всегда достаточно внятных рассуждениях и объяснениях детей.
Вот пример закономерности, которую нетрудно обнаружить в нашем собрании (будет справедливо сказать мешке) мешков: «Некоторые объекты есть почти в каждом мешке, другие – только в небольшом числе мешков, третьи – во многих мешках встречаются, а во многих нет». Начав рассматривать ситуацию под этим углом зрения, мы обнаруживаем, что, например, лампочка есть в каждом мешке. Открыв эту закономерность, мы можем «перестать видеть» лампочки в мешках, не сравнивать мешки по наличию в них лампочек.
Бросается в глаза чайная ложка. В первой строке она навязчиво маячит в правом верхнем углу мешка. Однако и в последующих мешках она присутствует почти всегда. Имеется только два исключения в нижнем ряду. Если эти два мешка совпадают, мы нашли ответ. Но нет, они разные. Тем не менее результат налицо, мы исключаем оба этих мешка из дальнейших поисков, ни один из них не совпадает ни с каким другим в задаче. Более того, и чайную ложку после этого можно «перестать видеть».
Еще одна хорошая идея – пересчитать число объектов в каждом мешке и разбить их на группы по этому числу. Такая идея уже «работала» ранее, и не исключено, что кто-то из детей ее вспомнит или изобретет заново. Однако оказывается, что во всех мешках по четыре предмета.
Еще одна из идей может состоять в том, чтобы перейти от наглядного, но из-за различного взаимного расположения предметов сбивающего с толку представления к более формальному. В частности, перейти от мешка к его таблице. Такую таблицу удобно выписывать сокращенно, просто в виде списка, столбиком (например, рядом с мешком), указывая в алфавитном порядке, какие объекты в мешке есть: (В)илка, (К)арандаш, (ЛА)мпочка, (ЛО)жка, (Н)ож, (Ч)ашка. При этом, если мы уже исключили из рассмотрения электрическую лампочку и ложку, столбики будут иметь высоту 2. Потом надо будет искать одинаковые столбики.
Попытайтесь выписать все возможные столбики высоты 2 из четырех предметов. Сколько их будет?
При выполнении этой задачи необходимо дать как можно больше свободы для принятия решений каждому учащемуся. Индивидуальное обсуждение способа работы с задачей полезно только после того, как ребенок уже нашел решение или, по крайней мере, достаточно много потрудился над задачей и попросил вашей помощи. Эта задача является одной из подготовительных для проекта «Одинаковые мешки». В работе над проектом будет проведено общее обсуждение того, какие существуют способы решения подобных задач.
Одинаковыми оказываются самый правый мешок в верхнем ряду и самый левый мешок в нижнем ряду.
Задача 14. При внимательном прочтении второго утверждения становится понятно, что все листья дерева Т должны быть расположены на третьем уровне.

Решение компьютерных задач

Задача 303. Задача на построение дерева. С технической стороны дети здесь продолжают учиться использовать компьютерные инструменты для создания дерева. С содержательной стороны – учатся планировать и строить дерево по описанию. Как и в бумажной задаче 14 здесь оказывается важным правильно понять условие задачи, в частности, понять, что означает «все бусины второго уровня листья». Оказывается, это означает, что в нашем дереве всего 2 уровня бусин, ведь у листьев следующих бусин быть не может. При этом листья могут быть и на первом уровне дерева, так что деревья у ребят могут получиться самые разные. Конечно, при этом дети не должны забыть, что всего в дереве 7 бусин.
Задача 304. Чисто теоретически (исходя из утверждений условия задачи), данное дерево может состоять из любого числа уровней, но технически детям не удастся построить дерево, в котором больше четырех уровней. Поэтому дети будут строить дерево, состоящее из трех или четырех уровней бусин. В этой задаче дерево удобно строить с последнего уровня. Понятно, что на последнем уровне дерева у нас могут располагаться только листья. По условию задачи на каждом уровне дерева находится два листа. Если последний уровень третий, то там должны находиться два листа-банана, если – четвертый, то два любых листа. Ясно, что на предпоследнем уровне может быть три или четыре бусины, поскольку не листов может быть один или два, а листов должно быть ровно два. Оба листа – бананы, а не листы могут быть любыми. Так двигаемся по уровням вплоть до корневых бусин, для каждого уровня проверяя истинность всех трех утверждений.
Задача 305. Эта задача перекликается с компьютерной задачей 303. Как и в задаче 303, решений здесь довольно много. Второе утверждение означает, что в этом дереве ровно три уровня. Первое утверждение говорит только о форме бусин второго уровня, но не говорит ни об их цвете, ни об их количестве. О бусинах первого уровня вообще не сказано ничего. При этом кроме листьев третьего уровня в задаче могут быть листья первого и второго уровня. Поскольку деревья у ребят могут быть самые разные, то фронтальная проверка здесь не подойдет. Можно проверить решения детей в индивидуальном порядке или устроить парную проверку – поменять детей за машинами и попросить каждого ученика проверить истинность обоих утверждений для построенного дерева.
Задача 306. Задача на повторение, которая в равной степени может считаться информатической и практической. В этой задаче речь идет о цепочке дней недели. Эта цепочка не представлена явно, но детям она хорошо известна. Отличие ее от наших цепочек в том, что по сути она не имеет фиксированного начала и конца. Мы, конечно, можем рассмотреть цепочку дней одной недели, но при этом хорошо понимаем, что перед понедельником было воскресенье, а после воскресенья опять будет понедельник. То есть, по сути, структура у нас не линейная, а циклическая. При этом структура направленная, поскольку для дней недели можно четко определить следующий и предыдущий день. Именно поэтому, среди утверждений нет ни одного, касающегося общего порядка дней недели, то есть порядка относительно начала или конца цепочки. Все утверждения относятся к частичному порядку – порядку бусин друг относительно друга. При этом ясно, что понятие «завтра» аналогично нашему понятию «следующий», а понятие «вчера» – понятию предыдущий. Что касается понятий «позавчера» и «послезавтра», то они аналогичны понятиям «второй перед» и «второй после».
Задача 307. Необязательная. Как и предыдущая, эта задача «пограничная». Она находится на границе информатики, математики и практики. Если ребенок любит математику и тяготеет к арифметическому способу решения, то, скорее всего он сначала посчитает общую сумму в кошельках, а затем выяснит, какая сумма должна лежать в каждом кошельке. Это сразу даст ему некоторую определенность. Те дети, которые больше тяготеют к практическим способам решения, сразу начнут экспериментировать, перекладывая монеты в мешках. И тем и другим детям придется сделать так, чтобы мешки стали разными. Стратегии здесь могут быть тоже разные, несложно понять, что они перекликаются с приемами поиска одинаковых мешков в наборе. Можно строить все мешки одновременно, сравнивая каждый с каждым. Можно сразу запланировать группы мешков, внутри которых есть смысл сравнивать мешки более тщательно. Например, можно разделить все мешки по числу пятирублевых монет. Например, можно в один мешок положить три таких монеты, в два – по две, в один – одну, тогда в двух мешках таких монет совсем не будет. Теперь становится понятно, что мешки, которые в своей группе по одному будут точно отличаться от всех остальных, а мешки, которые в группе по два нужно достроить так, чтобы они различались между собой.

К урок 6. Уровни дерева

Решение обязательных бумажных задач

Задача 12. Начинать решать задачу можно так же, как и задачу 9: написать сначала все буквы на соответствующих уровнях. Здесь уже нельзя соединять буквы в дереве как угодно: нужно, чтобы были истинны оба утверждения. Из первого утверждения следует, что после каждой гласной на любом уровне можно сразу поставить стрелочку листа. Рисуем стрелочки, читаем второе утверждение. Если все листья – гласные, то других листьев, кроме уже помеченных на дереве, быть не должно. Остается соединить буквы, учитывая, что все согласные буквы не являются листьями и обязательно должны иметь хотя бы одну следующую букву. Как видите, и эта задача не требует общего обсуждения. Проходя по классу, вам будет достаточно указать ученику на то, что для какой-либо буквы полученного им дерева одно из утверждений ложно, – дальше он, скорее всего, справится сам.
Обратите внимание, все ли дети справились с ситуацией, связанной с «похожестью» утверждений, данных в задаче. Возможно, кто-то спросит, зачем здесь два утверждения, в которых говорится «одно и то же». По опыту учителей математики среднего звена часто для детей и в седьмом классе, например, утверждения «Вертикальные углы равны» и «Равные углы вертикальны» кажутся одинаковыми. Поэтому, если у кого-то такой вопрос возник, советуем остановиться и на понятных примерах показать, что первое и второе утверждения различаются по содержанию. Это можно сделать как в индивидуальном порядке, так и в форме совместного обсуждения всем классом. Все зависит от того, сколько детей в классе споткнутся на этом месте. Советуем привести понятные примеры, например, утверждения «Все мальчики нашего класса – отличные спортсмены» и «Все отличные спортсмены – мальчики нашего класса» означают не одно и то же (первое может быть истинным, а второе явно ложное). Если на примерах из жизни все понятно, то можно вернуться к задаче – сначала откинуть второе утверждение и попробовать построить дерево снова.
Разных вариантов правильных ответов к этой задаче довольно много. Мы приводим только один из них (см. рисунок).

Задача 15. Структуры, аналогичные цепочкам, деревьям и мешкам, можно встретить где угодно, в том числе, конечно, и в сказках. Даже житейских знаний ребят окажется достаточно, чтобы выполнить данную задачу. Тем не менее, перед решением задачи каждый из детей должен понять для себя, что ряд домочадцев, тянущих репку, – это цепочка, первая бусина которой – дедка, а последняя – мышка.
            Ответ:            Дедка тянет из земли репку.
                                    Следующая после бабки – внучка.
                                    Предыдущая перед мышкой – кошка.
                                    Последней тянет мышка.
                                    Вторая перед Жучкой – бабка.
                                    Третья после внучки – мышка.
                                    Пятый перед мышкой – дедка.
                                    Четвертая с конца – внучка.
Задача 16. В задаче ограничений настолько мало, что кто-то, прочитав условие, возможно, будет просто сидеть, не зная с чего начать. На самом деле можно нарисовать одно из деревьев каким угодно, а затем из его бусин сконструировать второе дерево так, чтобы уровней в нем было больше (или меньше).
Задача 18. Задача, аналогичная компьютерной задаче 306. Здесь «работает» уже знакомая идея частичного порядка дней недели друг относительно друга. Как видите, эта задача проще задачи 306, ведь здесь в каждом утверждении речь идет только о двух последовательных днях недели (сегодня/завтра или сегодня/вчера)
Ответ: пятница, воскресенье, четверг, четверг.

Решение необязательных бумажных задач

Задача 10. Задача напоминает детям такой способ заполнения таблицы для мешка, при котором сначала работа ведется с рабочей таблицей, и только потом заполняется окончательная сводная таблица. Похожую задачу с греческими буквами дети решали во втором классе.
Метод заполнения таблицы для мешка, который предлагается в задаче, оправдывает себя только при работе с большим количеством объектов (в данном случае букв). Поэтому сильным ученикам будет полезно поработать именно с таким большим массивом, и мы надеемся, что это не займет у них слишком много времени.
Грузинские буквы, в отличие от знакомых букв или фигурок, для ребят лишь закорючки, которые очень легко спутать друг с другом. Напомните ребятам принцип работы: помечаем букву из мешка и ставим крестик в рабочей таблице в столбце, соответствующем данной букве и т. д. Таблица для мешка, приведенная в задании, заполняется лишь после того, как заполнена рабочая таблица.
Ответ:

Задача 17. Задача на повторение латинских букв и латинской алфавитной цепочки. Поскольку далеко не все дети к настоящему моменту знают алфавитный порядок латинских букв наизусть, мы приводим в задаче латинскую алфавитную линейку, тем самым давая ребятам возможность решать задачу «вприглядку». Проверить решения ребят в подобных задачах можно довольно быстро. Если буквы соединены правильно, то на рисунке появляется  сюжетная картинка. В данном случае на рисунке должно появиться пугало, на нем и сидят две птицы.

К урок 7. Таблица для мешка (повторение)

Работа с листом определений «Таблица для мешка»

Во втором классе дети уже работали с аналогичным листом определений, поэтому знакомство с данным листом определение должно проходить в формате повторения. Все методические аспекты данного листа определений мы с вами обсудили в комментариях к курсу 2 класса. Теперь давайте обсудим более серьезно научный аспект данного вопроса. Возможно, этот разговор поможет вам при подготовке к уроку или просто будет интересен.

Мешки-векторы

Ваши ребята уже привыкли к мешкам, в которых лежат предметы разных сортов, и к одномерным и двумерным таблицам для мешков. Надеемся, что такие математические объекты уже не вызывают особых трудностей. Однако для математики переход от одномерных объектов к двумерным оказывается достаточно важным шагом. Дело в том, что числа, прежде всего натуральные, очень удобны для измерений, например, времени (скажем, в секундах), или веса (в граммах), или пройденного расстояния (в метрах). Если мы хотим указать, не сколько мы прошли, а куда пришли, то ситуация становится сложнее. Нам приходится указывать «два измерения» – два числа или два символа. Это похоже на то, как мы указываем положение в городе (например, говорим «угол Ленина и Розы Люксембург») или поле на шахматной доске (например, «e2»). Самый распространенный в математике способ состоит в том, что на поверхность наносится сетка, как на бумаге в клетку. Если взять лист клетчатой бумаги, то с каждой клеткой на нем можно сопоставить два натуральных числа. Одно из этих чисел означает, сколько шагов надо сделать из нашей клетки, чтобы оказаться у левого края листа, а другое – сколько шагов надо сделать, чтобы добраться до нижнего края. Два таких числа называют координатами квадратика, их нельзя поменять местами – это не просто мешок, в котором лежат два числа, но упорядоченная пара (цепочка!), о которой мы договорились, что первое число – всегда расстояние до левого края листа, а второе – расстояние до нижнего края.
Тем не менее, координаты можно сложить в мешок. Для этого понадобятся бусины двух типов: бусина одного типа будет обозначать один шаг влево, а бусина другого – один шаг вниз. Какими именно будут бусины – вопрос договоренности. Например, квадратными и круглыми или синими и зелеными. А могут быть карточки, на которых написано «влево» и «вниз». Таким образом, каждой клетке на листе можно сопоставить мешок, в котором будет сколько-то бусин «влево» и сколько-то бусин «вниз».
Построив одномерную таблицу такого мешка, получим опять пару чисел, аналогичную координатам: ведь в таблице для каждого числа ясно, число каких именно карточек оно обозначает. Получится так называемый вектор. Конечно, вектор может иметь не только два, а несколько параметров (чисел). В нашем мешке могут тоже лежать бусины многих типов. В отличие от множества в мешке (мультимножестве) может быть несколько объектов одного типа. Значит, в таблице будут не только единицы и нули.
С понятия вектора начинается изучение того, что иногда называют аналитической геометрией. Данное понятие лежит в фундаменте всей физики и многих разделов математики.
Тема данного урока – двумерные таблицы для мешков. С научной точки зрения двумерные таблицы – это следующая по сложности структура – набор векторов. Конечно, мы не будем наших детей сейчас нагружать такой сложной терминологией. Достаточно того, что они научатся сортировать и классифицировать элементы мешка по двум признакам и аккуратно заполнять таблицу.

Решение обязательных бумажных задач

Задача 19. Вначале требуется заполнить четыре (одномерные) таблицы, т. е. классифицировать лица поочередно по четырем различным признакам – носу, рту, глазам и бровям. Перед сильным ребенком можно поставить вопрос, как проверить правильность заполнения этих четырех таблиц. Скорее всего, сильные дети ответят, что сумма чисел в каждой таблице должна быть одной и той же. Попросите такого ученика объяснить, почему так получается. Действительно, по какому бы (одному) признаку мы ни классифицировали лица, в сумме мы должны получить то количество фигурок, которое лежит в мешке.
Ответ (одномерные таблицы):


Вторая часть задачи – заполнение двумерных таблиц – технически более сложная. Трудность, во-первых, в том, что дети должны держать в голове одновременно два признака и полностью отключиться от остальных. Во-вторых, признаки хотя и осмысленные, но однотипные (палочки и закорючки), поэтому легко путаются, а предметы в мешке при этом не отличаются ни формой, ни размером, ни цветом. В-третьих, одновременно с поиском лиц ученик должен их еще и считать. Задание специально составлено таким образом, чтобы каждый ребенок почувствовал необходимость выработки системы своей работы. Лучше всего эти системы обсудить с каждым индивидуально, причем именно в тот момент, когда ученик начал запутываться. Некоторые дети будут заполнять клетки таблицы правильно, с ними необязательно обсуждать, как они действуют. У них уже есть своя система, и, возможно, в ходе наблюдения за работой учащихся вы сможете позаимствовать новую стратегию подсчета. Тем, кто запутался и не может ничего придумать, необходимо помочь, самое разумное – выработать систему в совместном обсуждении. В зависимости от того, к чему будет склоняться ученик, мы предлагаем вам один из трех возможных подходов.
Первый подход состоит в том, чтобы заполнять клетки таблицы поочередно, т. е. искать каждый раз лица, где присутствуют два определенных признака (например, округлый нос и глаза, скошенные в сторону). Основные проблемы при такой работе:

1. Соскальзывание с эталона – при переводе взгляда и внимания с таблицы на объекты мешка ребенок может забывать, какие именно признаки он ищет в данный момент, и переключаться на другие;
2. Сложность одновременно искать лица и считать их, даже пользуясь различными пометками.

Для устранения первой проблемы можно использовать шаблоны, т. е. заранее нарисованные лица, со всевозможными комбинациями двух признаков, которые встречаются в таблице (всего 12 шаблонов для каждой таблицы). Такие шаблоны необходимы для слабых и рассеянных детей. Ребенку с большей устойчивостью внимания будет достаточно нарисовать на черновике глаза и нос, которые он ищет, и периодически поглядывать на этот образец. Для устранения второй проблемы можно использовать пометки, то есть сначала искать и помечать лица, а потом считать все пометки. Необходимо только помнить – пометки должны быть такие, чтобы дети не путали лица, помеченные на текущем и предыдущих этапах. Для этого нужно либо после заполнения каждой клетки зачеркивать все лица, выделенные по этим двум признакам, либо использовать разные пометки для каждой клетки. Может оказаться сложным придумать 12 разных пометок, поэтому проще будет пронумеровать все клетки таблицы и использовать номера в качестве пометок, при этом лучше всего естественная нумерация таблицы – слева направо и сверху вниз.
Второй подход состоит в том, чтобы поочередно брать лица из мешка и соотносить их с определенной клеткой в таблице. Например, лицо в левом нижнем углу имеет рот прямой черточкой и нахмуренные брови, значит, оно должно находиться в верхней клетке самого левого столбца второй таблицы. Ставим в этой клетке небольшую пометку (например, палочку) и соответствующее лицо в мешке тоже помечаем (например, обводим). Когда все лица в мешке окажутся помеченными, подсчитаем палочки в каждой клетке таблицы и заменим их на полученные числа.
Третий подход – скопировать страничку учебника, вырезать все фигурки из мешка и рассортировать их на столе по необходимым признакам. Подсчитав, сколько фигурок оказалось в каждой кучке, заполнить таблицу. Этот способ самый простой. Не стоит его предлагать детям, которые хоть как-то справляются без него. Но если вы видите, что ребенок никак не может сосредоточиться (внимание рассеивается), то предложите ему этот способ, выдайте копию странички.
Выработав вместе с ребенком систему работы, подходите к нему время от времени и проверяйте, что он этой системе следует, обсуждайте снова, что он делает. После того как все определились со стратегией и углубились в работу, возможно, ребят начнут посещать идеи о соотношении одномерных и двумерных таблиц и о том, как это можно использовать при решении и проверке. Например, многие ребята вспомнят, что одного из видов глаз в мешке не обнаружено. Кто-то сделает совершенно справедливый вывод, что комбинации этого вида глаз со всеми формами носа тем более отсутствуют, поэтому во всех строках последнего столбца левой двумерной таблицы нужно написать нули. Если дальше такого вывода мысль не пошла, попробуйте возродить идею о соотношении одномерных и двумерных таблиц в ходе проверки. Например, спросите ребят: «Где в левой двумерной таблице находятся все лица с округлым носом?» Ясное дело, в верхней строке. «А сколько у нас всего лиц с круглым носом?» Эту информацию можно найти в первой одномерной таблице – таких лиц всего 15. Вывод: сумма всех чисел в верхней строке должна быть равна 15. Если у ученика это условие выполняется, он может переходить ко второй строке и проводить для нее аналогичную работу, если нет, ищет ошибку в клетках верхней строки. После проверки по строкам можно провести проверку по столбцам на основании информации третьей одномерной таблицы. Если все сходится, это гарантирует правильность заполнения двумерной таблицы (конечно, при условии, что одномерные таблицы заполнены верно). Таким образом, отпадает необходимость фронтальной проверки. Самая полезная проверка – это проверка, в ходе которой ребенок самостоятельно нашел свои ошибки.
Ответ (двумерные таблицы):

Задача 20. Строение деревьев и форма бусин у всех ребят должны быть одинаковыми, различия будут только в раскраске бусин. Поэтому и значения истинности должны быть у всех одинаковы для первого (Л), третьего (Л) и четвертого (И) утверждений таблицы.

Решение компьютерных задач

Задача 308. Стандартная задача на построение мешка по его двумерной таблице. Таких задач во 2 классе ребята решали довольно много. Если вы опасаетесь, что ребята многое забыли, напомните им, что клетки таблицы стоит использовать в некотором порядке, например, слева направо и сверху вниз. При этом полезно помечать клетки таблицы, которые уже использованы.
Задача 309. Как видите, эта задача сложней и интересней предыдущей. Здесь необходимо соблюсти сразу 3 условия – показания двух одномерных таблиц и то, что все фигурки должны быть разными. Это накладывает серьезные ограничения на искомый мешок. Для начала замечаем, что каждая фигурка в библиотеке трех цветов. Значит надо начать с фигурок, которых во второй таблице по три. У нас в библиотеке имеется ровно 3 разных груши и три разных сливы, поэтому кладем их в мешок, ведь других вариантов у нас нет. После этого обратимся к первой таблице. Мы уже положили в мешок по две фигурки каждого цвета, значит осталось положить одну красную, одну зеленую и две желтых. При этом среди них должно быть два яблока и два банана. Сделать это можно по-разному, поэтому решений в этой задаче несколько.
Задача 310. В этой задаче детям снова придется строить дерево по описанию. Первое утверждение означает, что в нашем дереве всего 2 уровня бусин. На каждом уровне по три листа, значит на втором уровне 3 листа. Всего в дереве 8 бусин, значит на первом уровне 5 бусин, три из которых листья. Значит из одной корневой бусины выходит один лист и еще из одной – два листа. Конечно, деревья ребят будут отличаться бусинами, стоящими в вершинах дерева, ведь о форме и цвете бусин в задаче не сказано вообще ничего.
Задача 311. Как и в большинстве наших задач на построение деревьев, решений здесь довольно много. Ясно, что у любого дерева должно быть не меньше двух листьев. В нашей задаче все листья слоны, причем разные слоны. Значит наше дерево имеет или 2 или 3 листа. Также мы может точно сказать, что дерево имеет 3 уровня бусин. Ясно, что все фигурки из библиотеки использовать в дереве не удастся. Наибольшее число фигурок в дереве будет 9. Так получится, если в дереве будет 3 листа, расположенных на третьем уровне и по три бусины на остальных уровнях (больше их быть в нашем дереве просто не может). Наименьшее число фигурок в дереве будет 4. Так получится, если в дереве будет ровно 2 листа – один на первом и один на третьем уровне и 2 не листа (меньше их быть просто не может).
Задача 312. Задача на повторение темы «Мешок бусин цепочки». Аналогичные задачи в курсе 2 класса встречались неоднократно. Эта задача скорее языковая и практическая, чем информатическая. Поэтому не стоит относиться к таким задачам чересчур серьезно, ведь формальный способ их решения может занять много времени. Большинство ребят обычно быстро догадываются, о каком слове идет речь. Но если ребенок совсем застрял, вы, чтобы не подсказывать ему решение, можете дать лишь один совет – провести полный перебор слов с таким мешком букв. Ясно, что на этот способ уйдет много времени. Кроме того, чисто теоретически есть вероятность (хотя и не большая), что нужного слова ребенок просто не знает. В этом случае даже перебор ему не поможет. Поэтому если проблемы возникли у слабого ребенка, то одно-два слова он может просто пропустить. Сильного ребенка стоит попросить хотя бы начать некоторый перебор. В процессе обсуждения вариантов слово наверняка найдется.
Задача 313. Необязательная. Как видите, эта задача – типичная практическая информационная задача. Подобные задачи (в отличие от традиционных задач нашего курса) характеризуются тем, что кроме информации, изложенной на листах определений учебника нужно привлекать информацию из окружающего мира. В нашем курсе обычно используются общеизвестные факты или же те, до которых ребенок может легко догадаться. Так в данном случае даже далекий от музыки ребенок в состоянии догадаться, что струнными называются инструменты, в которых имеются струны, а клавишными – в которых имеются клавиши. Также вполне правдоподобно соображение, что понятие «духовые» от слова «дуть», а «ударные» - от слова «ударять».

Решение необязательных бумажных задач

Задача 25. Главное в задаче – работа с утверждениями, которые не имеют смысла. При определении истинности утверждений типа «В этом слове предыдущая буква перед А – З» мы предполагаем, что в слове имеется буква А, причем одна, а также имеется предыдущая буква перед А. Только в этом случае можно достоверно сказать, что предыдущая буква З (тогда утверждение истинно) или не З (тогда утверждение ложно). В случае, если буквы А в слове нет, если букв А несколько (тогда непонятно, о какой из них идет речь) или буква А – первая в цепочке (нет буквы, предыдущей перед А), утверждение для данного слова не имеет смысла. Эта ситуация принципиально отличается от той, когда мы пишем «Н», говоря, что значение утверждения неизвестно. В таком случае мы не отрицаем возможности анализа утверждения с точки зрения его истинности или ложности, просто говорим, что информации, необходимой для этого анализа, у нас пока нет. Если же мы сталкиваемся с ситуацией, когда бусина не одна или ее нет, то мы вообще выбрасываем из рассмотрения такие утверждения как некорректные и поэтому не поддающиеся анализу.
На третьей странице обложки помещены листы определений, напоминающие, в какой ситуации утверждения оказываются бессмысленными. Наверное, самое большое число ошибок вызовет третье утверждение для слова Z. Ошибки эти связаны с тем, что ребята могут пытаться как-то домыслить и переформулировать (конечно, интуитивно) утверждения, которые сформулированы некорректно. Поэтому, видя, что одна буква Е в этом слове идет позже В и другая буква Е идет позже В, кто-то может сделать вывод об истинности утверждения. Однако мы с вами помним, что основная задача курса – привить ребятам навык мыслить в рамках формальной логики, научить их работать в рамках общих правил.
Ответ:

К урок 8. Таблица для мешка (повторение)

Решение компьютерных задач

Задача 314. Задача на построение мешка по его двумерной таблице, аналогичная компьютерной задаче 308. Основная сложность этой задачи в специфике объектов в мешке, как видите, в мешке должны лежать правильные многоугольники и звезды. Поэтому дети должны внимательно сравнивать форму фигурки в шапке таблицы и в библиотеке, чтобы не перепутать многоугольники (звезды). При этом многим детям придется считать число сторон многоугольников или число лучей у звезд.
Задача 315. Решая задачи в рамках темы «Дерево» ребята постепенно приобретают некоторый опыт, который впоследствии позволяет им быстро интерпретировать условие задачи и извлекать из него информацию, которая важна для построения дерева. Так, большинство ребят уже понимают, что на последнем уровне дерева могут быть только листья, значит на последнем уровне искомого дерева два листа. Что касается всех остальных уровней дерева, то на каждом из них должен быть хотя бы один не лист. Добавляя сюда условие, что на каждом уровне есть один лист, получаем, что на всех уровнях кроме последнего всего 2 бусины – лист и не лист. Ясно, что каждый не лист в дереве имеет две следующие бусины. Так что все деревья ребят будут построены по общему образцу. При этом деревья ребят будут отличаться не только формой и цветом бусин, но и числом уровней. В силу наших технических ограничений ребятам не удастся построить дерево больше чем из четырех уровней. При этом по условию задачи уровень в дереве может быть и один. Значит, уровней в дереве может быть от одного до четырех.
Задача 316. По своей формулировке задача может показаться ребятам довольно необычной, но содержательно она не слишком сложная. Главное здесь – внимательно прочитать текст задачи и понять, что означает каждое из условий. Данная задача имеет две части. Первая (непривычная для детей) – задача на построение таблицы для мешка по описанию (системе условий). Вторая (стандартная) – построение мешка по его двумерной таблице. Первая часть задачи потребует от детей анализа каждого из условий описания. Так, первое условие означает, что в мешке (и в таблице) может быть 10, 11 или 12 бусин. Второе условие означает, что в строчке «круглые бусины» во всех клетках кроме пересечения со столбцом «зеленые» должны стоять нули. Третье условие означает, что в столбце «голубые» во всех клетках кроме одной (на пересечении со строчкой «квадратные бусины») должны стоять нули. Остальные клетки таблицы можно заполнять произвольно, учитывая лишь общее число бусин в мешке. Поэтому решений в этой задаче существует достаточно много.
Задача 317. Задача на повторение частичного порядка бусин в цепочке. Таких задач дети во 2 классе решали довольно много, поэтому старайтесь не вмешиваться в процесс решения. Решение здесь не единственно, но положение некоторых фигурок все же определяется однозначно. Так второе условие (шестая фигурка после пиджака желтая футболка) может быть выполнено только в одном случае, если пиджак первая фигурка в цепочке, а желтая футболка – последняя. На оставшихся местах однозначно устанавливаются жилет и куртка. Все остальные фигурки могут стоять в любом порядке.
Задача 318. Задача на повторение алгоритма подсчета областей картинки. Как видите, областей в этой картинке очень много, но это компенсируется помощью авторами ческой заливки. Поэтому данную задачу можно предлагать любому учащемуся.

Решение обязательных бумажных задач

Задача 21. Некоторую трудность может вызвать применение понятия все для одного предмета. Такая ситуация уже встречалась в бумажной задаче 7. Из других утверждений ошибку по невнимательности может вызвать четвертое утверждение – ребята могут не заметить синий треугольный лист, который «прячется» на пятом уровне.
Ответ: 1, 3, 6 и 7-е утверждения истинны; остальные – ложны.
Задача 23. Одинаковое общее количество мышей в таблице и в мешке является необходимым, но недостаточным условием правильности решения. Если эти числа не совпадают, то в решении точно допущена ошибка, если же они совпадают, то это не гарантирует правильность заполнения таблицы. Ребенок мог, заполняя одну клетку, посчитать какую-то мышь дважды, а заполняя другую клетку, пропустить одну мышь.
Таблица будет заполнена верно, если не только общее число мышей, но и суммы по строкам и столбцам будут совпадать с действительным числом мышей в мешке, обладающих именно этим одним признаком. В мешке 6 мышей в красных майках, значит, сумма всех клеток верхней строки должна быть равна шести. Если это условие не выполняется для какой-то строки или столбца, то так мы узнаем, каких мышей нужно снова пересчитывать. Этот метод можно использовать и в случае, если у ребенка сразу не сошлось число мышей в таблице и в мешке. Чтобы не пересчитывать все заново, можно посчитать число мышей в мешке в майках каждого цвета, а затем проверить суммы по строкам. В строке, где эти числа не сойдутся, нужно искать ошибку. Если провести такую работу еще и по столбцам, то можно будет назвать клетку таблицы, где число вписано неверно.
Ответ:


Задача 24. Эта задача напоминает бумажную задачу 18, но несколько сложнее.  В каждом из утверждений рассматривается последовательность из трех дней. В результате утверждения превращаются из одноступенчатых: «из А следует Б», в двухступенчатые: «из А следует Б, а из Б – В». Поясним это на примере первого утверждения: «Завтра будет вторник, значит, сегодня понедельник, тогда вчера было воскресенье». Как, скорее всего, будет рассуждать ученик? Завтра будет вторник, значит сегодня понедельник, тогда вчера было воскресенье. Несмотря на это усложнение, мы надеемся, что ребята справятся с этой задачей не только самостоятельно, но и быстро. С тем же, кто застрял можно использовать описанные выше рассуждения – разбить утверждение на два простых, с которыми ученик справится, а затем вместе сделать вывод. Конечно, дальше следует убедиться, что с другим подобным утверждением ученик справился сам.
Ответ: воскресенье, понедельник, вторник.

Решение необязательных бумажных задач

Задача 22. Подобную задачу ребята уже решали (бумажная задача 13). В этой задаче мешков меньше, но предметов в мешках больше. Можно обсудить с детьми, которые решили обе задачи, какую задачу, по их мнению, проще решать и почему. Скорее всего, данная задача покажется ребятам сложнее, чем задача 13. Как и задача 13, эта задача готовит ребят к проекту «Одинаковые мешки», который мы предлагаем вам провести на следующих двух уроках. Поэтому, если у вас есть время, постарайтесь решить задачу со всем классом, не смотря на то, что она помечена нами как необязательная.
Ответ: два одинаковых мешка – это третий в верхнем ряду и первый в нижнем ряду.

К урокам 9-10. Проект «Одинаковые мешки»

Урок 1

На первом уроке проекта учащиеся решают задачу 1 из тетради проектов.


Общее обсуждение

Сначала детям предлагается придумать, как лучше искать одинаковые мешки в задаче 1. Для этого учащиеся обычно начинают беспорядочно сравнивать пары (ведь именно так они находили одинаковые мешки в задачах учебника). Надо сразу договориться: тот, кто считает, что получил ответ, показывает его только учителю, чтобы не лишать товарищей радости самостоятельного поиска. Кто-то, выбирая пары случайно, найдет два одинаковых мешка. В этом случае надо попросить удачливого ученика проверить, нет ли еще пар одинаковых мешков.
В процессе обсуждения возможностей сравнения мешков обязательно должен прозвучать вариант составления таблиц мешков. Действительно, сравнить две колонки чисел гораздо легче, чем два беспорядочно уложенных мешка. Каждый мешок нужно представить в виде колонки чисел – какие фигурки и в каком количестве в нем лежат. Но состав фигурок в каждом мешке свой. Можно для начала взять два мешка, скажем мешки А и С (пара А и В не годится, потому что эти мешки вообще не пересекаются), и попытаться сравнить их с помощью таблиц. Предложите подумать, как составить таблицы для мешков так, чтобы их впоследствии было удобно сравнивать. Если составлять таблицы для А и С по отдельности (дети уже делали это в задачах), то сравнивать их потом будет не намного проще, чем сами мешки. Так рождается мысль о том, что таблицы мешков должны быть «унифицированы», т. е. список и порядок фигурок для заполнения таблицы каждого мешка должны быть одинаковыми. В таком случае таблицы мешков могут быть колонками одной таблицы, которые легко сравнивать. Первый столбец в таблице – список всех фигурок, встречающихся в мешках, а во втором и третьем столбцах мы сможем записать, сколько каких фигурок в мешках, то есть заполнить таблицы для мешков А и С. Если какой-то фигурки в одном из мешков нет, то в соответствующей клетке просто поставим ноль. В ходе разговора на доске появится таблица, похожая на таблицу к задаче 1, но только меньше. Первый столбец таблицы появится, естественно, в ходе просмотра мешков А и С: берем мешок А, выписываем все фигурки, которые там встречаются, затем берем мешок С и дописываем те фигурки, которых в первом столбце таблицы еще нет.
Главная проблема при выполнении этой работы – не записать в список дважды одну и ту же фигурку. После того как общий список готов, можно заполнить колонки (таблицы мешков) для А и С. По окончании работы учащиеся не только убеждаются в том, что мешки А и С разные, но и получают алгоритм для дальнейшей работы. Точно также можно поступить и с остальными мешками. Составив один общий список всех фигурок, которые встречаются в мешках хотя бы один раз, можно заполнить таблицу для каждого мешка и потом сравнить колонки чисел.

Заполнение сводной таблицы для мешков

По окончании общего обсуждения каждому учащемуся предлагается самостоятельно поработать со сводной таблицей на с. XXIII вкладыша. В первом столбце должен содержаться общий список всех фигурок, встречающихся в мешках. Ребенок может составить его сразу целиком или по ходу просмотра мешков добавлять животных, которые еще не встречались. Полный список фигурок появится после просмотра первых трех мешков (А, В, С). Затем учащийся заполняет таблицу, имея в виду, что таблица каждого мешка – это колонка в сводной таблице, т. е. в столбце под именем каждого мешка.
Мы приводим один из возможных вариантов заполнения таблицы для четырех первых мешков.


Поиск одинаковых столбцов таблицы

После заполнения всей таблицы (а точнее, таблиц всех мешков) нужно найти два одинаковых столбца. Можно выявить пару одинаковых столбцов, проглядывая таблицу глазами, но лучше отсортировать таблицы мешков (мы составили таблицу так, чтобы, просматривая глазами, найти два одинаковых столбца было трудно). Предложите детям следующий способ: разрезать заполненную большую таблицу на отдельные таблицы мешков (на столбцы). Теперь разделим их на кучки с одинаковыми цифрами в первой строке. Затем каждую кучку делим на меньшие кучки, выбирая таблицы с одинаковыми цифрами во втором ряду, и так далее, пока не просмотрим все ряды. Постепенно число кучек будет увеличиваться, а число таблиц в кучках – уменьшаться. Кучки с одной таблицей (одиночные таблицы) можно сразу откладывать в сторону. Возвращаться к ним не придется. В результате останется одна кучка, содержащая две таблицы. Это и будут таблицы одинаковых мешков.

Урок 2

На втором уроке проекта дети силами всего класса ищут два одинаковых мешка в совокупности телесных мешков. Для работы понадобятся настоящие мешки (например, полиэтиленовые пакетики) и телесные предметы (детали конструктора ЛЕГО или мелкие канцелярские принадлежности). Мешки надо подготовить заранее по числу учеников, не больше 26 штук (из расчета один мешок на одного-двух учащихся), не забыв изготовить ровно два одинаковых. Лучше сразу наклеить на каждый мешок имя. Различных предметов, которые вы положите в эти мешки, должно быть не более 20 – тогда список предметов поместится в заготовленные таблицы.

Индивидуальное составление таблиц для телесных мешков

Каждый учащийся получает свой мешок (пакетик) и составляет таблицу этого мешка (три бланка таких таблиц помещены на с. XXI вкладыша). Для заполнения таблицы надо составить список предметов мешка. Можно посоветовать детям вынимать предметы из мешка, одновременно записывая в таблицу названия тех предметов, которые ему еще не встречались. Остается подсчитать, сколько раз каждый из предметов встречался в мешке, и заполнить таблицу.




Составление общего списка предметов во всех мешках

Затем работа ведется всем классом. Нужно составить общий список всех предметов, которые есть в мешке хотя бы у одного ученика в классе.  Для этого первый ученик выписывает на доске названия всех предметов из своего мешка. Затем второй ученик дописывает названия тех предметов, которые есть в его мешке, но еще не внесены в список. Все остальные ученики контролируют ход работы.



Продолжает запись следующий ученик. Постепенно в списке оказываются все предметы.

Общий поиск одинаковых таблиц (мешков) силами всего класса

Дальше можно организовать два варианта работы: индивидуальный и групповой. В первом случае каждый ученик работает с этой задачей так же, как он работал с задачей 1. Он заполняет сводную таблицу на с. XXII, разрезает ее на отдельные столбцы и находит два одинаковых. Единственное отличие от задачи 1 состоит в том, что у каждого ученика имеется только одна таблица для своего мешка. Чтобы дети могли заполнить сводную таблицу, необходимо организовать обмен информацией. На доске записан общий список предметов. Попросите всех по очереди выйти к доске и выписать столбец для своего мешка. Так каждый ученик сможет заполнить сводную таблицу и найти два одинаковых столбца.
Для другого варианта работы – совместно всем классом – каждый ученик должен заполнить таблицу для своего мешка на с. XXI еще раз, но уже с новым списком предметов. Перечень и порядок предметов в таблице должны теперь быть в точности такими же, как в общем списке на доске. Напротив предметов из списка, которых в мешке у учащегося нет, ставится ноль. Далее происходит поиск одинаковых таблиц. При этом если раньше мы делили на кучки столбцы таблицы, то теперь на группы делятся дети. Например, первый ученик говорит: «У меня в первой строчке единица, у кого еще столько же?» Все дети, у кого в первой строчке 1, подходят к нему. Учитель спрашивает у одного из оставшихся сидеть, какое у него число в первой строчке. Ученик отвечает, и к нему подходят все, у кого в первой строчке такое же число. Образуется несколько довольно больших групп учеников. Каждая из этих групп должна теперь разделиться на несколько подгрупп с одинаковыми числами во второй строке и т. д.
Постепенно групп становится все больше, а детей в группах все меньше. В конце концов совпадающие таблицы будут найдены и останется только проверить результат, достав элементы из мешков. Не исключено, что при этом дети обнаружат ошибки.
Ошибки могут быть двух типов:
1. Ученик неправильно составил таблицу мешка.
2. Два разных предмета были названы одинаково. Например, дети считали карандаши, а после проверки оказалось, что у одного карандаш красный, а у другого синий. Скрепки могут оказаться разного размера.
В этом случае необходимо довести работу по сравнению мешков до конца, внеся изменения в таблицы. Обязательно надо обсудить, можно ли было из-за этой ошибки пропустить одинаковые мешки.
Можно организовать и телесное составление таблиц мешков. Для этого понадобится горизонтальная поверхность, на которой следует нарисовать таблицу такого размера, чтобы в любой ее клеточке можно было положить все одинаковые элементы одного мешка. Еще лучше сделать каждый столбец таблицы в виде отдельной картонки, фанерки или полоски лоточков. Такая конструкция таблицы позволит сортировать ее столбцы с разложенными на них предметами.
Рассмотрим пример организации работы с телесной таблицей. Сначала каждому мешку присваивается номер или имя (скажем, имя держащего его ученика). Если в классе несколько учеников с одинаковыми именами, то придется использовать имя и фамилию. Затем каждый подписывает один столбец таблицы именем своего мешка. После этого начинается заполнение таблицы элементами мешка. Один ученик достает из своего мешка первый попавшийся ему элемент, называет его и кладет в верхнюю ячейку таблицы. Например: «В верхнюю ячейку таблицы я положу скрепку». Слово «скрепка» записывается на доске, и все ученики, которые находят в своих мешках скрепки, кладут их в свою верхнюю ячейку. Затем тот же или любой другой ученик достает из мешка следующий предмет, называет его и кладет во вторую сверху ячейку. Постепенно все предметы из всех мешков оказываются выложенными в таблицы, причем у всех учеников в одинаковых строчках лежат одинаковые предметы. По завершении первого этапа работы следует приступить к сортировке таблиц. Ее можно проводить так же, как и описанную выше сортировку обычных таблиц. Во время сортировки иногда выясняется, что при заполнении таблиц разные предметы были названы одинаково. Например, в первую строчку решили поместить карандаши, а когда таблицы положили рядом, выяснилось, что в одном мешке карандаши синие, а в другом – красные. Придется заполнить в таблице новую строчку, написав в ней, скажем, «карандаши красные», а старую строчку «карандаши» исправить на «карандаши синие».
Выполнив проект, дети получают инструмент нахождения одинаковых мешков, одинаковых массивов, независимо от количества элементов в мешках и числа мешков. Главное, что должно остаться у детей, – это ощущение могущества придуманного ими способа решения задачи о нахождении одинаковых мешков; возможно, что работа будет долгой, но она обязательно приведет к результату.

К уроку 11. Длина цепочки. Цепочка цепочек

Понятие «длина цепочки» для детей совсем не сложное и достаточно естественное. Иногда мы уже использовали подобные условия в задачах, говоря, что в цепочке сколько-то бусин. Теперь для таких случаев у нас появился специальных термин «длина цепочки». Поэтому, думаем пояснений к листу определений «Длина цепочки» вам давать не потребуется.

Цепочки цепочек

Ваши ученики уже, наверняка, привыкли к цепочкам и легко выделяют их в объектах и явлениях окружающего мира. Цепочки цепочек тем не менее могут показаться какой-то экзотикой, чисто формальными объектами. Если вы задумаетесь, то поймете, что цепочек, элементы которых – цепочки, тоже много.
Мы находим примеры цепочек, наблюдая за окружающим миром, в нашем восприятии отдельных событий и явлений. Например, в обычных школьных примерах естественно говорить, что ребенок утром встал, сделал зарядку, умылся, оделся, позавтракал, пошел в школу. В каждом событии этой цепочки нетрудно выделить внутреннюю структуру: зарядку разбить на отдельные упражнения; в одевании обсуждать, что сначала надевается майка или рубашка; маршрут в школу разделить на отдельные прямолинейные участки и повороты. Устная речь воспринимается как последовательность слов (и в некоторых письменностях они отображаются иероглифами), но во многих языках слова записываются в виде цепочек букв. В арифметических выражениях отдельные числа могут либо считаться бусинами цепочек, либо представляться как последовательности цифр. Использование скобок и подстановка выражения вместо переменной – примеры явлений того же рода.

Списки и языки программирования 

Самые первые компьютеры работали с числами. Их использовали для расчета траектории ракеты, которая должна была точно попасть в столицу предполагаемого противника, или объема сырья в ядерном реакторе, который должен был произвести взрывчатый материал для боеголовки той ракеты, и т. п. В некоторый момент, однако, все больше задач, решаемых компьютерами, стало относиться не к числам, а к текстам, изображениям, звукам. Сегодня обработка текстов и изображений – главное занятие компьютеров.
Чтобы объяснить компьютеру, что делать с текстом, надо было создать специальные языки программирования (язык, на котором человек дает инструкцию компьютеру). Самым знаменитым языком, предназначенными для обработки текстов и записи программ, моделирующих интеллектуальную деятельность человека, стал язык LISP. При его разработке математики и специалисты по компьютерам воспользовались языком, изобретенным математиками еще в 30-е годы ХХ века. (Вообще очень многое из примененного в компьютерной технологии было открыто внутри математики еще до появления компьютеров.) Основным информационным объектом этого языка были цепочки цепочек. В языке LISP они называются списками (по-английски lists). Английское слово list вошло и в название знаменитого языка: LISt Processing (в переводе на русский язык – обработка списков). Язык LISP послужил основой для многих систем так называемого искусственного интеллекта, в которых люди пытались поручить машине задачи, например, распознавания изображений (как роботу перемещаться в пространстве, брать деталь и обрабатывать ее) и человеческой речи (как компьютеру понимать устные приказания хозяина).
Сегодня персональные компьютеры распознают напечатанный текст, понимают устную речь, играют в шахматы на чемпионском уровне. На многих заводах сегодня число рабочих и техников исчисляется всего десятками, а роботов – тысячами; простейшие роботы, в том числе распознающие изображения, школьники собирают в конструкторах ЛЕГО ДАКТА. Начинается все это с цепочек цепочек. (Кстати, мешки тоже появились в работах по искусственному интеллекту в 60-е годы прошлого века.)

Решение обязательных бумажных задач

Задача 26. Задача на закрепление нового понятия «длина цепочки». Единственная ее сложность – новый формат таблицы, но она настолько проста, что скорее всего трудностей не возникнет.
Ответ:

Задача 28. Дети должны усвоить, что Х – это цепочка, которая, как они привыкли, имеет начало, конец и бусины, сохраняющие строгий порядок. Отличие от тех цепочек, с которыми работали раньше, лишь одно: каждая бусина цепочки Х сама является цепочкой бусин. Именно поэтому мы называем новый объект «цепочка цепочек».
Настолько же, насколько это название естественно с точки зрения формальной логики, оно непривычно с точки зрения разговорного языка. В русском языке принято избегать повторения однокоренных слов в одном предложении. Поэтому структуры, похожие на цепочку цепочек, стараются называть словосочетанием из двух разных слов. Например, принято говорить «последовательность месяцев», а не «цепочка цепочек дней». Только в этой непривычности и может корениться причина того, что кому-то тема вначале покажется сложной. Ведь со структурами двойного порядка ребята уже имели дело и на уроках русского языка (предложение – это цепочка цепочек букв), и на уроках математики (арифметический пример – это структура из цепочек цифр).
При ответе на первый вопрос кто-то может попытаться сосчитать общее число бусин, входящих в цепочки цепочки Х. Такому ученику нужно посоветовать снова вернуться к листу определений.
Ответ: длина цепочки Х равна 4, третья бусина цепочки Х – это цепочка длины 3.
Задача 31. Каждое слово цепочки J по имеющимся буквам и общему количеству окон отыскивается в цепочке L однозначно. Поэтому ученик может начинать решать с любого слова цепочки J, постепенно заполняя окна. Указание к задаче облегчает работу. По мере соединения найденных слов в пары список «незанятых» слов в цепочке L становится все меньше, поэтому искать варианты для слов цепочки J становится все легче.
Эта задача многослойна. Она имеет несколько интересных выходов на различные вопросы курса. Проследим возможные связи. Во-первых, и L и J – это цепочки цепочек. Во-вторых, мы начинаем постепенно подводить ребят к теме «Словарный порядок». В цепочке L слова расставлены в алфавитном порядке, а в цепочке J – произвольно. Поскольку во 2 классе ребята уже немного занимались расстановкой слов в алфавитном порядке, то они могут сами заметить, что со словами, расставленными в лексикографическом порядке, работать удобнее.

Решение компьютерных задач

Задача 319. Задача, аналогичная бумажной задаче 26. Отличие данной задачи лишь в том, что среди данных имеется цепочка цепочек – F. Она состоит из трех цепочек (одна из которых пустая), поэтому ее длина равна трем.
Задача 320. Задача напоминает бумажную задачу 29. Подобные задачи позволяют выяснить уровень понимания детьми нового понятия «цепочка цепочек». Самое важное здесь, чтобы дети понимали, что цепочка S состоит из цепочек бусин. Именно они в этом случае являются бусинами, из которых строится цепочка. Как видите, здесь слово «бусина» мы употребляем в новом значении. Не как геометрическая бусина, а как «кирпичик» из которого строится более сложная структура. Именно в таком значении мы употребляли слово «бусина» в теме «Дерева». Дерево у нас тоже строится из бусин-кирпичиков. При этом в роли элементов (вершин) в дереве могут быть не только геометрические бусины, но и фигурки, буквы и даже цепочки (например, слова). Так же дело обстоит и в данной теме. Бусинами цепочки цепочек мы будем называть цепочки, из которых она состоит. В данном случае цепочка состоит из трех бусин-цепочек (поэтому длина цепочки S равна трем). Среди бусин цепочки S есть одна пустая цепочка (длины 0), цепочка длины 2 и цепочка длины 3. Ясно, что одинаковых цепочек в цепочке S нет.
Задача 321. Похожие компьютерные задачи на построение дерева ребятам уже встречались.  Поэтому большинство детей уже должны правильно понимать первое условие. С одной стороны оно означает, что дерево имеет всего 3 уровня, а с другой – что на первом и втором уровне дерева листьев нет. Поскольку на каждом уровне дерева при этом ровно по три бусины, то на третьем уровне 3 листа, а на первом и втором по три не листа. При попытке построить дерево по данному описанию, у детей получается дерево, в котором каждый лист выходит из своей корневой бусины, то есть в каждый лист ведет собственный путь (см. лист определений «Путь дерева»). Таким образом, структура всех деревьев у ребят будет похожей, а отличаться деревья будут только формой и цветом бусин, из которых они состоят.
Задача 322. Задача на повторение темы «Одинаковые мешки». Стратегии здесь могут быть самые разные. Одна из них – пометить сразу все буквы, которые есть во всех мешках. Для этого устроим перебор по буквам первого мешка. Если некоторая буква есть во всех остальных мешках, то помечаем ее во всех мешках. Если – нет, вынимаем букву из первого мешка. После этого останется лишь вынуть все непомеченные буквы из мешков. Другая стратегия состоит в том, чтобы сравнивать мешки постепенно, по ходу вынимая лишние буквы. Например, сравнивая первый мешок со вторым, мы ищем несовпадающие буквы и вынимаем их. Так мы понимаем, что в первом мешке лишняя буква Р, а во втором Н. Теперь сравниваем получившийся мешок (либо первый, либо второй, поскольку они стали одинаковыми) с третьим мешком и снова проделываем то же самое. Так мы двигаемся вплоть до последнего мешка, и к этому моменту из каждого мешка оказываются вынутыми по 2 буквы.
Задача 323. Задача на упорядоченье слов в алфавитном порядке. Отличие ее лишь в том, что требуется упорядочить не все слова, а только слова определенной длины, поэтому сначала слова длины 5 нужно отобрать. Можно отложить их лапкой в отдельную кучку или положить в окна цепочки сначала как придется.
Задача 324. Необязательная. Данная задача по сути комбинаторная, ведь эта задача на перебор вариантов. Конечно, не все дети смогут грамотно организовать систематический перебор. Поэтому многие будут действовать наудачу – раскрашивать очередную мышку, сравнивать ее с остальными, перекрашивать если такая мышь уже есть и т. д. Как видите, здесь есть два вида разных мышей – смотрящих влево и смотрящих прямо. Мышки из этих групп в любом случае будут разные, как бы мы не раскрашивали их одежду. Поэтому рассмотрим группу одинаковых мышек, например, смотрящих налево. Их будет четыре. Какие есть варианты раскраски их одежды. Либо юбка и кофта будут одинакового цвета, либо – разного. В первом случае они могут быть обе желтые, либо обе красные. Во втором, красной может быть юбка (а кофта желтой) или наоборот. Получаем всего 4 варианта разной раскраски, что как раз совпадает с нашим числом мышей. Аналогично мы раскрасим и мышей, которые смотрят прямо.

Решение необязательных бумажных задач

Задача 30. Для полного решения задачи нужно перебирать все слова и дальше отмечать каждую букву в мешке и в слове. Существует способ сократить процесс, занявшись отдельными характеристиками слов. Например, в мешке всего 5 букв, значит, слова, где букв не пять, можно из рассмотрения выкинуть. В мешке две гласные, обе О, выбрасываем еще пару слов. В мешке есть буква Р, выбрасываем те слова, где Р нет. Остается проверить только два слова. Мы не предлагаем объяснять эту модель рассуждения учащимся, но вполне разумно поддерживать элементы такой модели в их рассуждениях или даже где-то подтолкнуть появление таких элементов.
Ответ: ТОПОР и РОПОТ.
Задача 32. Аналогичные задачи ребята уже решали. Поэтому при отсутствии времени можно предложить ее ребятам для домашней работы или просто пропустить.
Ответ: понедельник, четверг, вторник, пятница.

К уроку 12. Длина цепочки. Цепочка цепочек

Решение компьютерных задач

Задача 325. Задача аналогичная компьютерной задаче 319 (см. комментарии к задаче 319). Желательно, чтобы все ребята справились с этой задачей полностью самостоятельно.
Задача 326. Это задача на текущий лист определений нового типа. Здесь необходимо достроить цепочку цепочек так, чтобы она соответствовала описанию. Заметим, что второе утверждение будет истинно автоматически, вне зависимости от того, как дети раскрасят цепочку. Иногда мы предлагаем ребятам подобные задачи с избыточными данными (недостаточными или даже противоречивыми) умышленно, ведь в практических информационных задачах такие ситуации встречаются довольно часто. Что касается одинаковых бусин цепочки F, то это могут быть только две цепочки длины 1 (состоящие из одной треугольной бусины), значит эти треугольные бусины нужно обязательно раскрасить в разные цвета. В силу третьего утверждения все круглые бусины раскрашиваем синим. Оставшуюся бусину первой цепочки раскрашиваем произвольно.
Задача 327.  В этой задаче дети впервые видят цепочку чисел. При решении этой задачи ребята должны понять, что любое  натуральное число можно рассматривать как цепочку цифр. Только цепочка натуральных чисел – это цепочка цепочек цифр. Именно в этом плане она нас в основном и интересует. Возможно, кто-то из детей заметит, что числа в цепочке стоят в порядке возрастания. Это существенно облегчает работу с данной цепочкой, в частности, заполнение данной таблицы.
Задача 328. Задача на повторение лексики, связанной с деревьями – понятий «листья», «уровни». Задача эта не сложная и желательно, чтобы все дети справились с ней самостоятельно. Здесь важно, в каком порядке использовать данные утверждения. Так, если в первую очередь использовать последнее утверждение, решение скорее всего зайдет в тупик. После использования всех трех утверждений все бусины дерева оказываются раскрашенными.
Задача 329. Аналогичных задач на построение дерева ребята решали уже довольно много. Поэтому предоставьте им полную свободу. Даже слабый ребенок способен здесь построить решение методом проб и ошибок, ведь подходящих решений в этой задаче много.
Задача 330. Необязательная. Хотя все объекты в задаче напоминают календарные даты, но не все являются таковыми, то есть имеются в календаре. Для начала ребята выбирают подходящие даты. После этого задача становится стандартной.

Решение обязательных бумажных задач

Задача 27. Несложная задача на закрепление понятия «длина цепочки».
Ответ: СПРОСОНЬЯ, ПОПРЫГУНЬЯ, ГОВОРУНЬЯ, ХВАСТУНЬЯ.
Задача 29. Среди представленных цепочек есть две цепочки цепочек цепочек. Это цепочки, бусинами которых являются цепочки цепочек. Ученики видели такую цепочку на листе определений (цепочка V), но видеть и понимать – не одно и то же. Цепочка В состоит из одной бусины (а значит, длины 1), которая является цепочкой и тоже в свою очередь состоит из одной бусины, которая также является цепочкой и состоит из одной бусины. Головоломка? Вспомним русские народные сказки. Баба-Яга говорит Ивану Царевичу: «Смерть Кощея – на конце иглы, та игла – в яйце, то яйцо – в утке, та утка – в зайце, тот заяц – в кованом ларце, а тот ларец – на вершине старого дуба». Здесь конструкция еще более сложная, но детям она понятна.
На что похожа цепочка Г? Да на то же самое, но только Иван Царевич разбил яйцо, а там пусто. С цепочкой Г возможна дополнительная проблема – некоторые ребята будут считать ее просто пустой цепочкой. Это легко проверить по тому, как они определят истинность четвертого утверждения. Вернитесь с такими ребятами снова к Ивану Царевичу. Если он открыл сундук и из него выбежал заяц, можно ли считать, что сундук был пустой вне зависимости от того, найдет он в конце концов смерть Кощея в яйце или там пусто?
Ответ:

Задача 34. При решении задачи удобно воспользоваться черновиком. Первое утверждение: «В этом слове буква Е идет раньше О». Пишем на черновике Е, а потом О так, чтобы оставалось свободное место перед Е, после О и между буквами (ведь мы не знаем, куда придется вставлять остальные буквы). Второе утверждение не связано с уже написанными буквами, поэтому пока займемся третьим. Оказывается У идет позже О, значит, пишем на черновике У после О (опять оставляя место между буквами). Возвращаемся ко второму утверждению и получаем следующую последовательность: Е-О-У-Ы. Остается вставить буквы в окна в соответствии с порядком их следования в слове. Кто-то из ребят впишет буквы прямо-таки мгновенно. Причина в том, что наша цепочка – осмысленное слово (БЕЛОКУРЫЙ), которое можно просто угадать по имеющимся буквам, вообще не читая утверждения. Это тоже неплохо, но таких ребят нужно попросить определить истинность всех утверждений в задаче, другими словами, доказать, что это угаданное решение нам подходит. Наша задача – не отучить ребят догадываться (роль интуиции при решении задач трудно переоценить), а научить проверять правильность своей догадки или находить ошибку.

Решение необязательных бумажных задач

Задача 33. Задача на повторение темы «Одинаковые мешки». Аналогичных задач было много в курсе 2 класса, и в курсе 3 класса ребятам они уже встречались (см. комментарии к бумажной задаче 4).
Задача 35. Здесь потребуется  умение анализировать не просто утверждения, а пары: утверждения и их истинностные значения. Для ложных утверждений придется построить их отрицания – соответствующие им истинные утверждения.
Эту задачу будет трудно решать, если анализировать утверждения по одному. Проще вначале прочесть все утверждения и попытаться как-то объединить их по смыслу. Можно сказать, что некоторые утверждения «про одно и то же»: первое и последнее – про длину цепочки Е; второе и пятое – про одинаковые бусины; третье, четвертое и шестое – про длину бусин-цепочек.
Проще всего сначала разобраться с длиной. Первое утверждение ложно, значит, длина цепочки Е не 4. Из последнего утверждения следует, что длина цепочки меньше 5. Вывод: длина цепочки может быть 3, 2 или 1.
Второе утверждение по смыслу является частью пятого. Итак, в этой цепочке должны быть две одинаковые пустые бусины-цепочки. Добавляя этот вывод к первому, получаем – эта цепочка состоит или из двух пустых цепочек, или из трех цепочек, две из которых пустые.
Прочтем оставшиеся утверждения. Третье утверждение не добавляет нам новой информации. В цепочке есть две пустые цепочки, значит, оно автоматически становится ложным. Аналогично и четвертое утверждение из-за наличия пустых цепочек не может быть истинным. Что-то новое о цепочке Е узнаем только из шестого утверждения – среди бусин этой цепочки есть цепочка длины 3. Добавляя эту информацию к выводу, сделанному на предыдущем этапе, получаем, что Е – цепочка, состоящая из трех цепочек, две из которых пустые, а третья – длины 3. Нарисовать такую цепочку теперь совсем не сложно.
Ребята не смогут провести все эти рассуждения так гладко и в полном объеме. Возможно, они выделят одну особенность цепочки Е, а дальше начнут действовать методом проб и ошибок, рисуя разные цепочки. Это тоже неплохо, главное, чтобы они всегда сопоставляли получившуюся цепочку с утверждениями из таблицы, а если что-то не сходится, то делали правильные выводы.