понедельник, 29 сентября 2014 г.

К урок 7. Таблица для мешка (повторение)

Работа с листом определений «Таблица для мешка»

Во втором классе дети уже работали с аналогичным листом определений, поэтому знакомство с данным листом определение должно проходить в формате повторения. Все методические аспекты данного листа определений мы с вами обсудили в комментариях к курсу 2 класса. Теперь давайте обсудим более серьезно научный аспект данного вопроса. Возможно, этот разговор поможет вам при подготовке к уроку или просто будет интересен.

Мешки-векторы

Ваши ребята уже привыкли к мешкам, в которых лежат предметы разных сортов, и к одномерным и двумерным таблицам для мешков. Надеемся, что такие математические объекты уже не вызывают особых трудностей. Однако для математики переход от одномерных объектов к двумерным оказывается достаточно важным шагом. Дело в том, что числа, прежде всего натуральные, очень удобны для измерений, например, времени (скажем, в секундах), или веса (в граммах), или пройденного расстояния (в метрах). Если мы хотим указать, не сколько мы прошли, а куда пришли, то ситуация становится сложнее. Нам приходится указывать «два измерения» – два числа или два символа. Это похоже на то, как мы указываем положение в городе (например, говорим «угол Ленина и Розы Люксембург») или поле на шахматной доске (например, «e2»). Самый распространенный в математике способ состоит в том, что на поверхность наносится сетка, как на бумаге в клетку. Если взять лист клетчатой бумаги, то с каждой клеткой на нем можно сопоставить два натуральных числа. Одно из этих чисел означает, сколько шагов надо сделать из нашей клетки, чтобы оказаться у левого края листа, а другое – сколько шагов надо сделать, чтобы добраться до нижнего края. Два таких числа называют координатами квадратика, их нельзя поменять местами – это не просто мешок, в котором лежат два числа, но упорядоченная пара (цепочка!), о которой мы договорились, что первое число – всегда расстояние до левого края листа, а второе – расстояние до нижнего края.
Тем не менее, координаты можно сложить в мешок. Для этого понадобятся бусины двух типов: бусина одного типа будет обозначать один шаг влево, а бусина другого – один шаг вниз. Какими именно будут бусины – вопрос договоренности. Например, квадратными и круглыми или синими и зелеными. А могут быть карточки, на которых написано «влево» и «вниз». Таким образом, каждой клетке на листе можно сопоставить мешок, в котором будет сколько-то бусин «влево» и сколько-то бусин «вниз».
Построив одномерную таблицу такого мешка, получим опять пару чисел, аналогичную координатам: ведь в таблице для каждого числа ясно, число каких именно карточек оно обозначает. Получится так называемый вектор. Конечно, вектор может иметь не только два, а несколько параметров (чисел). В нашем мешке могут тоже лежать бусины многих типов. В отличие от множества в мешке (мультимножестве) может быть несколько объектов одного типа. Значит, в таблице будут не только единицы и нули.
С понятия вектора начинается изучение того, что иногда называют аналитической геометрией. Данное понятие лежит в фундаменте всей физики и многих разделов математики.
Тема данного урока – двумерные таблицы для мешков. С научной точки зрения двумерные таблицы – это следующая по сложности структура – набор векторов. Конечно, мы не будем наших детей сейчас нагружать такой сложной терминологией. Достаточно того, что они научатся сортировать и классифицировать элементы мешка по двум признакам и аккуратно заполнять таблицу.

Решение обязательных бумажных задач

Задача 19. Вначале требуется заполнить четыре (одномерные) таблицы, т. е. классифицировать лица поочередно по четырем различным признакам – носу, рту, глазам и бровям. Перед сильным ребенком можно поставить вопрос, как проверить правильность заполнения этих четырех таблиц. Скорее всего, сильные дети ответят, что сумма чисел в каждой таблице должна быть одной и той же. Попросите такого ученика объяснить, почему так получается. Действительно, по какому бы (одному) признаку мы ни классифицировали лица, в сумме мы должны получить то количество фигурок, которое лежит в мешке.
Ответ (одномерные таблицы):


Вторая часть задачи – заполнение двумерных таблиц – технически более сложная. Трудность, во-первых, в том, что дети должны держать в голове одновременно два признака и полностью отключиться от остальных. Во-вторых, признаки хотя и осмысленные, но однотипные (палочки и закорючки), поэтому легко путаются, а предметы в мешке при этом не отличаются ни формой, ни размером, ни цветом. В-третьих, одновременно с поиском лиц ученик должен их еще и считать. Задание специально составлено таким образом, чтобы каждый ребенок почувствовал необходимость выработки системы своей работы. Лучше всего эти системы обсудить с каждым индивидуально, причем именно в тот момент, когда ученик начал запутываться. Некоторые дети будут заполнять клетки таблицы правильно, с ними необязательно обсуждать, как они действуют. У них уже есть своя система, и, возможно, в ходе наблюдения за работой учащихся вы сможете позаимствовать новую стратегию подсчета. Тем, кто запутался и не может ничего придумать, необходимо помочь, самое разумное – выработать систему в совместном обсуждении. В зависимости от того, к чему будет склоняться ученик, мы предлагаем вам один из трех возможных подходов.
Первый подход состоит в том, чтобы заполнять клетки таблицы поочередно, т. е. искать каждый раз лица, где присутствуют два определенных признака (например, округлый нос и глаза, скошенные в сторону). Основные проблемы при такой работе:
  1. Соскальзывание с эталона – при переводе взгляда и внимания с таблицы на объекты мешка ребенок может забывать, какие именно признаки он ищет в данный момент, и переключаться на другие;
  2. Сложность одновременно искать лица и считать их, даже пользуясь различными пометками.
Для устранения первой проблемы можно использовать шаблоны, т. е. заранее нарисованные лица, со всевозможными комбинациями двух признаков, которые встречаются в таблице (всего 12 шаблонов для каждой таблицы). Такие шаблоны необходимы для слабых и рассеянных детей. Ребенку с большей устойчивостью внимания будет достаточно нарисовать на черновике глаза и нос, которые он ищет, и периодически поглядывать на этот образец. Для устранения второй проблемы можно использовать пометки, то есть сначала искать и помечать лица, а потом считать все пометки. Необходимо только помнить – пометки должны быть такие, чтобы дети не путали лица, помеченные на текущем и предыдущих этапах. Для этого нужно либо после заполнения каждой клетки зачеркивать все лица, выделенные по этим двум признакам, либо использовать разные пометки для каждой клетки. Может оказаться сложным придумать 12 разных пометок, поэтому проще будет пронумеровать все клетки таблицы и использовать номера в качестве пометок, при этом лучше всего естественная нумерация таблицы – слева направо и сверху вниз.
Второй подход состоит в том, чтобы поочередно брать лица из мешка и соотносить их с определенной клеткой в таблице. Например, лицо в левом нижнем углу имеет рот прямой черточкой и нахмуренные брови, значит, оно должно находиться в верхней клетке самого левого столбца второй таблицы. Ставим в этой клетке небольшую пометку (например, палочку) и соответствующее лицо в мешке тоже помечаем (например, обводим). Когда все лица в мешке окажутся помеченными, подсчитаем палочки в каждой клетке таблицы и заменим их на полученные числа.
Третий подход – скопировать страничку учебника, вырезать все фигурки из мешка и рассортировать их на столе по необходимым признакам. Подсчитав, сколько фигурок оказалось в каждой кучке, заполнить таблицу. Этот способ самый простой. Не стоит его предлагать детям, которые хоть как-то справляются без него. Но если вы видите, что ребенок никак не может сосредоточиться (внимание рассеивается), то предложите ему этот способ, выдайте копию странички.
Выработав вместе с ребенком систему работы, подходите к нему время от времени и проверяйте, что он этой системе следует, обсуждайте снова, что он делает. После того как все определились со стратегией и углубились в работу, возможно, ребят начнут посещать идеи о соотношении одномерных и двумерных таблиц и о том, как это можно использовать при решении и проверке. Например, многие ребята вспомнят, что одного из видов глаз в мешке не обнаружено. Кто-то сделает совершенно справедливый вывод, что комбинации этого вида глаз со всеми формами носа тем более отсутствуют, поэтому во всех строках последнего столбца левой двумерной таблицы нужно написать нули. Если дальше такого вывода мысль не пошла, попробуйте возродить идею о соотношении одномерных и двумерных таблиц в ходе проверки. Например, спросите ребят: «Где в левой двумерной таблице находятся все лица с округлым носом?» Ясное дело, в верхней строке. «А сколько у нас всего лиц с круглым носом?» Эту информацию можно найти в первой одномерной таблице – таких лиц всего 15. Вывод: сумма всех чисел в верхней строке должна быть равна 15. Если у ученика это условие выполняется, он может переходить ко второй строке и проводить для нее аналогичную работу, если нет, ищет ошибку в клетках верхней строки. После проверки по строкам можно провести проверку по столбцам на основании информации третьей одномерной таблицы. Если все сходится, это гарантирует правильность заполнения двумерной таблицы (конечно, при условии, что одномерные таблицы заполнены верно). Таким образом, отпадает необходимость фронтальной проверки. Самая полезная проверка – это проверка, в ходе которой ребенок самостоятельно нашел свои ошибки.
Ответ (двумерные таблицы):

Задача 20. Строение деревьев и форма бусин у всех ребят должны быть одинаковыми, различия будут только в раскраске бусин. Поэтому и значения истинности должны быть у всех одинаковы для первого (Л), третьего (Л) и четвертого (И) утверждений таблицы.

Решение компьютерных задач

Задача 308. Стандартная задача на построение мешка по его двумерной таблице. Таких задач во 2 классе ребята решали довольно много. Если вы опасаетесь, что ребята многое забыли, напомните им, что клетки таблицы стоит использовать в некотором порядке, например, слева направо и сверху вниз. При этом полезно помечать клетки таблицы, которые уже использованы.
Задача 309. Как видите, эта задача сложней и интересней предыдущей. Здесь необходимо соблюсти сразу 3 условия – показания двух одномерных таблиц и то, что все фигурки должны быть разными. Это накладывает серьезные ограничения на искомый мешок. Для начала замечаем, что каждая фигурка в библиотеке трех цветов. Значит надо начать с фигурок, которых во второй таблице по три. У нас в библиотеке имеется ровно 3 разных груши и три разных сливы, поэтому кладем их в мешок, ведь других вариантов у нас нет. После этого обратимся к первой таблице. Мы уже положили в мешок по две фигурки каждого цвета, значит осталось положить одну красную, одну зеленую и две желтых. При этом среди них должно быть два яблока и два банана. Сделать это можно по-разному, поэтому решений в этой задаче несколько.
Задача 310. В этой задаче детям снова придется строить дерево по описанию. Первое утверждение означает, что в нашем дереве всего 2 уровня бусин. На каждом уровне по три листа, значит на втором уровне 3 листа. Всего в дереве 8 бусин, значит на первом уровне 5 бусин, три из которых листья. Значит из одной корневой бусины выходит один лист и еще из одной – два листа. Конечно, деревья ребят будут отличаться бусинами, стоящими в вершинах дерева, ведь о форме и цвете бусин в задаче не сказано вообще ничего.
Задача 311. Как и в большинстве наших задач на построение деревьев, решений здесь довольно много. Ясно, что у любого дерева должно быть не меньше двух листьев. В нашей задаче все листья слоны, причем разные слоны. Значит наше дерево имеет или 2 или 3 листа. Также мы может точно сказать, что дерево имеет 3 уровня бусин. Ясно, что все фигурки из библиотеки использовать в дереве не удастся. Наибольшее число фигурок в дереве будет 9. Так получится, если в дереве будет 3 листа, расположенных на третьем уровне и по три бусины на остальных уровнях (больше их быть в нашем дереве просто не может). Наименьшее число фигурок в дереве будет 4. Так получится, если в дереве будет ровно 2 листа – один на первом и один на третьем уровне и 2 не листа (меньше их быть просто не может).
Задача 312. Задача на повторение темы «Мешок бусин цепочки». Аналогичные задачи в курсе 2 класса встречались неоднократно. Эта задача скорее языковая и практическая, чем информатическая. Поэтому не стоит относиться к таким задачам чересчур серьезно, ведь формальный способ их решения может занять много времени. Большинство ребят обычно быстро догадываются, о каком слове идет речь. Но если ребенок совсем застрял, вы, чтобы не подсказывать ему решение, можете дать лишь один совет – провести полный перебор слов с таким мешком букв. Ясно, что на этот способ уйдет много времени. Кроме того, чисто теоретически есть вероятность (хотя и не большая), что нужного слова ребенок просто не знает. В этом случае даже перебор ему не поможет. Поэтому если проблемы возникли у слабого ребенка, то одно-два слова он может просто пропустить. Сильного ребенка стоит попросить хотя бы начать некоторый перебор. В процессе обсуждения вариантов слово наверняка найдется.
Задача 313. Необязательная. Как видите, эта задача – типичная практическая информационная задача. Подобные задачи (в отличие от традиционных задач нашего курса) характеризуются тем, что кроме информации, изложенной на листах определений учебника нужно привлекать информацию из окружающего мира. В нашем курсе обычно используются общеизвестные факты или же те, до которых ребенок может легко догадаться. Так в данном случае даже далекий от музыки ребенок в состоянии догадаться, что струнными называются инструменты, в которых имеются струны, а клавишными – в которых имеются клавиши. Также вполне правдоподобно соображение, что понятие «духовые» от слова «дуть», а «ударные» - от слова «ударять».

Решение необязательных бумажных задач

Задача 25. Главное в задаче – работа с утверждениями, которые не имеют смысла. При определении истинности утверждений типа «В этом слове предыдущая буква перед А – З» мы предполагаем, что в слове имеется буква А, причем одна, а также имеется предыдущая буква перед А. Только в этом случае можно достоверно сказать, что предыдущая буква З (тогда утверждение истинно) или не З (тогда утверждение ложно). В случае, если буквы А в слове нет, если букв А несколько (тогда непонятно, о какой из них идет речь) или буква А – первая в цепочке (нет буквы, предыдущей перед А), утверждение для данного слова не имеет смысла. Эта ситуация принципиально отличается от той, когда мы пишем «Н», говоря, что значение утверждения неизвестно. В таком случае мы не отрицаем возможности анализа утверждения с точки зрения его истинности или ложности, просто говорим, что информации, необходимой для этого анализа, у нас пока нет. Если же мы сталкиваемся с ситуацией, когда бусина не одна или ее нет, то мы вообще выбрасываем из рассмотрения такие утверждения как некорректные и поэтому не поддающиеся анализу.
На третьей странице обложки помещены листы определений, напоминающие, в какой ситуации утверждения оказываются бессмысленными. Наверное, самое большое число ошибок вызовет третье утверждение для слова Z. Ошибки эти связаны с тем, что ребята могут пытаться как-то домыслить и переформулировать (конечно, интуитивно) утверждения, которые сформулированы некорректно. Поэтому, видя, что одна буква Е в этом слове идет позже В и другая буква Е идет позже В, кто-то может сделать вывод об истинности утверждения. Однако мы с вами помним, что основная задача курса – привить ребятам навык мыслить в рамках формальной логики, научить их работать в рамках общих правил.
Ответ:

Комментариев нет:

Отправить комментарий