К уроку 5. Уровни дерева

Решение обязательных бумажных задач

Задача 9. В этой задаче дети продолжают закреплять новое понятие «уровни дерева» в процессе построения дерева по описанию. Здесь и во всех задачах на построение дерева мы будем заранее рисовать в окне линии-разделители для уровней дерева. Мы обращаем на это внимание ребят в условии и вам советуем обратить внимание ребят на указание к задаче. Мы надеемся, что разметка поможет детям правильно расположить бусины дерева по уровням и нарисовать в окне аккуратное дерево.
Хотя детям предстоит здесь построить дерево по описанию, думаем, у ребят не возникнет серьезных проблем. Учащийся может, например, сразу нарисовать бусины из каждого мешка на соответствующем уровне (конечно, в любом порядке), добавить по желанию бусины на четвертом уровне, а потом уже соединить все нарисованные бусины в дерево.
Задача 13. Важно обсудить со всеми интересующимися детьми, как они решали задачу. Стратегии, конечно, могут быть разные. Одна из них – систематически перебирать все пары, например, так: первый мешок сравнить с остальными, затем второй – с остальными и т. д. (метод последовательного перебора). Уже здесь возникает ряд интересных вопросов: как именно просматривать мешки, как ничего не забыть, как отмечать уже просмотренные мешки и объекты и т. д.
Вторая из стратегий, возникающая у детей и взрослых чаще всего интуитивно и спонтанно, состоит в том, чтобы перебирать пары наугад (метод проб и ошибок). Стратегия эта не такая уж бессмысленная, как может показаться на первый взгляд.
Подумайте, почему при такой стратегии имеется опасность затратить очень много времени или вовсе никогда не решить задачу.
Не надо навязывать и даже подсказывать закономерности детям, мы о них говорим здесь только для того, чтобы вам было проще их распознавать в действиях и не всегда достаточно внятных рассуждениях и объяснениях детей.
Вот пример закономерности, которую нетрудно обнаружить в нашем собрании (будет справедливо сказать мешке) мешков: «Некоторые объекты есть почти в каждом мешке, другие – только в небольшом числе мешков, третьи – во многих мешках встречаются, а во многих нет». Начав рассматривать ситуацию под этим углом зрения, мы обнаруживаем, что, например, лампочка есть в каждом мешке. Открыв эту закономерность, мы можем «перестать видеть» лампочки в мешках, не сравнивать мешки по наличию в них лампочек.
Бросается в глаза чайная ложка. В первой строке она навязчиво маячит в правом верхнем углу мешка. Однако и в последующих мешках она присутствует почти всегда. Имеется только два исключения в нижнем ряду. Если эти два мешка совпадают, мы нашли ответ. Но нет, они разные. Тем не менее результат налицо, мы исключаем оба этих мешка из дальнейших поисков, ни один из них не совпадает ни с каким другим в задаче. Более того, и чайную ложку после этого можно «перестать видеть».
Еще одна хорошая идея – пересчитать число объектов в каждом мешке и разбить их на группы по этому числу. Такая идея уже «работала» ранее, и не исключено, что кто-то из детей ее вспомнит или изобретет заново. Однако оказывается, что во всех мешках по четыре предмета.
Еще одна из идей может состоять в том, чтобы перейти от наглядного, но из-за различного взаимного расположения предметов сбивающего с толку представления к более формальному. В частности, перейти от мешка к его таблице. Такую таблицу удобно выписывать сокращенно, просто в виде списка, столбиком (например, рядом с мешком), указывая в алфавитном порядке, какие объекты в мешке есть: (В)илка, (К)арандаш, (ЛА)мпочка, (ЛО)жка, (Н)ож, (Ч)ашка. При этом, если мы уже исключили из рассмотрения электрическую лампочку и ложку, столбики будут иметь высоту 2. Потом надо будет искать одинаковые столбики.
Попытайтесь выписать все возможные столбики высоты 2 из четырех предметов. Сколько их будет?
При выполнении этой задачи необходимо дать как можно больше свободы для принятия решений каждому учащемуся. Индивидуальное обсуждение способа работы с задачей полезно только после того, как ребенок уже нашел решение или, по крайней мере, достаточно много потрудился над задачей и попросил вашей помощи. Эта задача является одной из подготовительных для проекта «Одинаковые мешки». В работе над проектом будет проведено общее обсуждение того, какие существуют способы решения подобных задач.
Одинаковыми оказываются самый правый мешок в верхнем ряду и самый левый мешок в нижнем ряду.
Задача 14. При внимательном прочтении второго утверждения становится понятно, что все листья дерева Т должны быть расположены на третьем уровне.

Решение компьютерных задач

Задача 303. Задача на построение дерева. С технической стороны дети здесь продолжают учиться использовать компьютерные инструменты для создания дерева. С содержательной стороны – учатся планировать и строить дерево по описанию. Как и в бумажной задаче 14 здесь оказывается важным правильно понять условие задачи, в частности, понять, что означает «все бусины второго уровня листья». Оказывается, это означает, что в нашем дереве всего 2 уровня бусин, ведь у листьев следующих бусин быть не может. При этом листья могут быть и на первом уровне дерева, так что деревья у ребят могут получиться самые разные. Конечно, при этом дети не должны забыть, что всего в дереве 7 бусин.
Задача 304. Чисто теоретически (исходя из утверждений условия задачи), данное дерево может состоять из любого числа уровней, но технически детям не удастся построить дерево, в котором больше четырех уровней. Поэтому дети будут строить дерево, состоящее из трех или четырех уровней бусин. В этой задаче дерево удобно строить с последнего уровня. Понятно, что на последнем уровне дерева у нас могут располагаться только листья. По условию задачи на каждом уровне дерева находится два листа. Если последний уровень третий, то там должны находиться два листа-банана, если – четвертый, то два любых листа. Ясно, что на предпоследнем уровне может быть три или четыре бусины, поскольку не листов может быть один или два, а листов должно быть ровно два. Оба листа – бананы, а не листы могут быть любыми. Так двигаемся по уровням вплоть до корневых бусин, для каждого уровня проверяя истинность всех трех утверждений.
Задача 305. Эта задача перекликается с компьютерной задачей 303. Как и в задаче 303, решений здесь довольно много. Второе утверждение означает, что в этом дереве ровно три уровня. Первое утверждение говорит только о форме бусин второго уровня, но не говорит ни об их цвете, ни об их количестве. О бусинах первого уровня вообще не сказано ничего. При этом кроме листьев третьего уровня в задаче могут быть листья первого и второго уровня. Поскольку деревья у ребят могут быть самые разные, то фронтальная проверка здесь не подойдет. Можно проверить решения детей в индивидуальном порядке или устроить парную проверку – поменять детей за машинами и попросить каждого ученика проверить истинность обоих утверждений для построенного дерева.
Задача 306. Задача на повторение, которая в равной степени может считаться информатической и практической. В этой задаче речь идет о цепочке дней недели. Эта цепочка не представлена явно, но детям она хорошо известна. Отличие ее от наших цепочек в том, что по сути она не имеет фиксированного начала и конца. Мы, конечно, можем рассмотреть цепочку дней одной недели, но при этом хорошо понимаем, что перед понедельником было воскресенье, а после воскресенья опять будет понедельник. То есть, по сути, структура у нас не линейная, а циклическая. При этом структура направленная, поскольку для дней недели можно четко определить следующий и предыдущий день. Именно поэтому, среди утверждений нет ни одного, касающегося общего порядка дней недели, то есть порядка относительно начала или конца цепочки. Все утверждения относятся к частичному порядку – порядку бусин друг относительно друга. При этом ясно, что понятие «завтра» аналогично нашему понятию «следующий», а понятие «вчера» – понятию предыдущий. Что касается понятий «позавчера» и «послезавтра», то они аналогичны понятиям «второй перед» и «второй после».
Задача 307. Необязательная. Как и предыдущая, эта задача «пограничная». Она находится на границе информатики, математики и практики. Если ребенок любит математику и тяготеет к арифметическому способу решения, то, скорее всего он сначала посчитает общую сумму в кошельках, а затем выяснит, какая сумма должна лежать в каждом кошельке. Это сразу даст ему некоторую определенность. Те дети, которые больше тяготеют к практическим способам решения, сразу начнут экспериментировать, перекладывая монеты в мешках. И тем и другим детям придется сделать так, чтобы мешки стали разными. Стратегии здесь могут быть тоже разные, несложно понять, что они перекликаются с приемами поиска одинаковых мешков в наборе. Можно строить все мешки одновременно, сравнивая каждый с каждым. Можно сразу запланировать группы мешков, внутри которых есть смысл сравнивать мешки более тщательно. Например, можно разделить все мешки по числу пятирублевых монет. Например, можно в один мешок положить три таких монеты, в два – по две, в один – одну, тогда в двух мешках таких монет совсем не будет. Теперь становится понятно, что мешки, которые в своей группе по одному будут точно отличаться от всех остальных, а мешки, которые в группе по два нужно достроить так, чтобы они различались между собой.