К урокам 9-10. Проект «Одинаковые мешки»

Урок 1

На первом уроке проекта учащиеся решают задачу 1 из тетради проектов.


Общее обсуждение

Сначала детям предлагается придумать, как лучше искать одинаковые мешки в задаче 1. Для этого учащиеся обычно начинают беспорядочно сравнивать пары (ведь именно так они находили одинаковые мешки в задачах учебника). Надо сразу договориться: тот, кто считает, что получил ответ, показывает его только учителю, чтобы не лишать товарищей радости самостоятельного поиска. Кто-то, выбирая пары случайно, найдет два одинаковых мешка. В этом случае надо попросить удачливого ученика проверить, нет ли еще пар одинаковых мешков.
В процессе обсуждения возможностей сравнения мешков обязательно должен прозвучать вариант составления таблиц мешков. Действительно, сравнить две колонки чисел гораздо легче, чем два беспорядочно уложенных мешка. Каждый мешок нужно представить в виде колонки чисел – какие фигурки и в каком количестве в нем лежат. Но состав фигурок в каждом мешке свой. Можно для начала взять два мешка, скажем мешки А и С (пара А и В не годится, потому что эти мешки вообще не пересекаются), и попытаться сравнить их с помощью таблиц. Предложите подумать, как составить таблицы для мешков так, чтобы их впоследствии было удобно сравнивать. Если составлять таблицы для А и С по отдельности (дети уже делали это в задачах), то сравнивать их потом будет не намного проще, чем сами мешки. Так рождается мысль о том, что таблицы мешков должны быть «унифицированы», т. е. список и порядок фигурок для заполнения таблицы каждого мешка должны быть одинаковыми. В таком случае таблицы мешков могут быть колонками одной таблицы, которые легко сравнивать. Первый столбец в таблице – список всех фигурок, встречающихся в мешках, а во втором и третьем столбцах мы сможем записать, сколько каких фигурок в мешках, то есть заполнить таблицы для мешков А и С. Если какой-то фигурки в одном из мешков нет, то в соответствующей клетке просто поставим ноль. В ходе разговора на доске появится таблица, похожая на таблицу к задаче 1, но только меньше. Первый столбец таблицы появится, естественно, в ходе просмотра мешков А и С: берем мешок А, выписываем все фигурки, которые там встречаются, затем берем мешок С и дописываем те фигурки, которых в первом столбце таблицы еще нет.
Главная проблема при выполнении этой работы – не записать в список дважды одну и ту же фигурку. После того как общий список готов, можно заполнить колонки (таблицы мешков) для А и С. По окончании работы учащиеся не только убеждаются в том, что мешки А и С разные, но и получают алгоритм для дальнейшей работы. Точно также можно поступить и с остальными мешками. Составив один общий список всех фигурок, которые встречаются в мешках хотя бы один раз, можно заполнить таблицу для каждого мешка и потом сравнить колонки чисел.

Заполнение сводной таблицы для мешков

По окончании общего обсуждения каждому учащемуся предлагается самостоятельно поработать со сводной таблицей на с. XXIII вкладыша. В первом столбце должен содержаться общий список всех фигурок, встречающихся в мешках. Ребенок может составить его сразу целиком или по ходу просмотра мешков добавлять животных, которые еще не встречались. Полный список фигурок появится после просмотра первых трех мешков (А, В, С). Затем учащийся заполняет таблицу, имея в виду, что таблица каждого мешка – это колонка в сводной таблице, т. е. в столбце под именем каждого мешка.
Мы приводим один из возможных вариантов заполнения таблицы для четырех первых мешков.


Поиск одинаковых столбцов таблицы

После заполнения всей таблицы (а точнее, таблиц всех мешков) нужно найти два одинаковых столбца. Можно выявить пару одинаковых столбцов, проглядывая таблицу глазами, но лучше отсортировать таблицы мешков (мы составили таблицу так, чтобы, просматривая глазами, найти два одинаковых столбца было трудно). Предложите детям следующий способ: разрезать заполненную большую таблицу на отдельные таблицы мешков (на столбцы). Теперь разделим их на кучки с одинаковыми цифрами в первой строке. Затем каждую кучку делим на меньшие кучки, выбирая таблицы с одинаковыми цифрами во втором ряду, и так далее, пока не просмотрим все ряды. Постепенно число кучек будет увеличиваться, а число таблиц в кучках – уменьшаться. Кучки с одной таблицей (одиночные таблицы) можно сразу откладывать в сторону. Возвращаться к ним не придется. В результате останется одна кучка, содержащая две таблицы. Это и будут таблицы одинаковых мешков.

Урок 2

На втором уроке проекта дети силами всего класса ищут два одинаковых мешка в совокупности телесных мешков. Для работы понадобятся настоящие мешки (например, полиэтиленовые пакетики) и телесные предметы (детали конструктора ЛЕГО или мелкие канцелярские принадлежности). Мешки надо подготовить заранее по числу учеников, не больше 26 штук (из расчета один мешок на одного-двух учащихся), не забыв изготовить ровно два одинаковых. Лучше сразу наклеить на каждый мешок имя. Различных предметов, которые вы положите в эти мешки, должно быть не более 20 – тогда список предметов поместится в заготовленные таблицы.

Индивидуальное составление таблиц для телесных мешков

Каждый учащийся получает свой мешок (пакетик) и составляет таблицу этого мешка (три бланка таких таблиц помещены на с. XXI вкладыша). Для заполнения таблицы надо составить список предметов мешка. Можно посоветовать детям вынимать предметы из мешка, одновременно записывая в таблицу названия тех предметов, которые ему еще не встречались. Остается подсчитать, сколько раз каждый из предметов встречался в мешке, и заполнить таблицу.




Составление общего списка предметов во всех мешках

Затем работа ведется всем классом. Нужно составить общий список всех предметов, которые есть в мешке хотя бы у одного ученика в классе.  Для этого первый ученик выписывает на доске названия всех предметов из своего мешка. Затем второй ученик дописывает названия тех предметов, которые есть в его мешке, но еще не внесены в список. Все остальные ученики контролируют ход работы.



Продолжает запись следующий ученик. Постепенно в списке оказываются все предметы.

Общий поиск одинаковых таблиц (мешков) силами всего класса

Дальше можно организовать два варианта работы: индивидуальный и групповой. В первом случае каждый ученик работает с этой задачей так же, как он работал с задачей 1. Он заполняет сводную таблицу на с. XXII, разрезает ее на отдельные столбцы и находит два одинаковых. Единственное отличие от задачи 1 состоит в том, что у каждого ученика имеется только одна таблица для своего мешка. Чтобы дети могли заполнить сводную таблицу, необходимо организовать обмен информацией. На доске записан общий список предметов. Попросите всех по очереди выйти к доске и выписать столбец для своего мешка. Так каждый ученик сможет заполнить сводную таблицу и найти два одинаковых столбца.
Для другого варианта работы – совместно всем классом – каждый ученик должен заполнить таблицу для своего мешка на с. XXI еще раз, но уже с новым списком предметов. Перечень и порядок предметов в таблице должны теперь быть в точности такими же, как в общем списке на доске. Напротив предметов из списка, которых в мешке у учащегося нет, ставится ноль. Далее происходит поиск одинаковых таблиц. При этом если раньше мы делили на кучки столбцы таблицы, то теперь на группы делятся дети. Например, первый ученик говорит: «У меня в первой строчке единица, у кого еще столько же?» Все дети, у кого в первой строчке 1, подходят к нему. Учитель спрашивает у одного из оставшихся сидеть, какое у него число в первой строчке. Ученик отвечает, и к нему подходят все, у кого в первой строчке такое же число. Образуется несколько довольно больших групп учеников. Каждая из этих групп должна теперь разделиться на несколько подгрупп с одинаковыми числами во второй строке и т. д.
Постепенно групп становится все больше, а детей в группах все меньше. В конце концов совпадающие таблицы будут найдены и останется только проверить результат, достав элементы из мешков. Не исключено, что при этом дети обнаружат ошибки.
Ошибки могут быть двух типов:
1. Ученик неправильно составил таблицу мешка.
2. Два разных предмета были названы одинаково. Например, дети считали карандаши, а после проверки оказалось, что у одного карандаш красный, а у другого синий. Скрепки могут оказаться разного размера.
В этом случае необходимо довести работу по сравнению мешков до конца, внеся изменения в таблицы. Обязательно надо обсудить, можно ли было из-за этой ошибки пропустить одинаковые мешки.
Можно организовать и телесное составление таблиц мешков. Для этого понадобится горизонтальная поверхность, на которой следует нарисовать таблицу такого размера, чтобы в любой ее клеточке можно было положить все одинаковые элементы одного мешка. Еще лучше сделать каждый столбец таблицы в виде отдельной картонки, фанерки или полоски лоточков. Такая конструкция таблицы позволит сортировать ее столбцы с разложенными на них предметами.
Рассмотрим пример организации работы с телесной таблицей. Сначала каждому мешку присваивается номер или имя (скажем, имя держащего его ученика). Если в классе несколько учеников с одинаковыми именами, то придется использовать имя и фамилию. Затем каждый подписывает один столбец таблицы именем своего мешка. После этого начинается заполнение таблицы элементами мешка. Один ученик достает из своего мешка первый попавшийся ему элемент, называет его и кладет в верхнюю ячейку таблицы. Например: «В верхнюю ячейку таблицы я положу скрепку». Слово «скрепка» записывается на доске, и все ученики, которые находят в своих мешках скрепки, кладут их в свою верхнюю ячейку. Затем тот же или любой другой ученик достает из мешка следующий предмет, называет его и кладет во вторую сверху ячейку. Постепенно все предметы из всех мешков оказываются выложенными в таблицы, причем у всех учеников в одинаковых строчках лежат одинаковые предметы. По завершении первого этапа работы следует приступить к сортировке таблиц. Ее можно проводить так же, как и описанную выше сортировку обычных таблиц. Во время сортировки иногда выясняется, что при заполнении таблиц разные предметы были названы одинаково. Например, в первую строчку решили поместить карандаши, а когда таблицы положили рядом, выяснилось, что в одном мешке карандаши синие, а в другом – красные. Придется заполнить в таблице новую строчку, написав в ней, скажем, «карандаши красные», а старую строчку «карандаши» исправить на «карандаши синие».
Выполнив проект, дети получают инструмент нахождения одинаковых мешков, одинаковых массивов, независимо от количества элементов в мешках и числа мешков. Главное, что должно остаться у детей, – это ощущение могущества придуманного ими способа решения задачи о нахождении одинаковых мешков; возможно, что работа будет долгой, но она обязательно приведет к результату.